《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

17. 如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 4，$ E $ 是 $ CD $ 的中点，点 $ P $ 在射线 $ AB $ 上，过点 $ P $ 作线段 $ AE $ 的垂线段，垂足为 $ F $.
(1) 求证: $ \triangle PAF \sim \triangle AED $.
(2) 连结 $ PE $，是否存在点 $ P $，使得 $ \triangle PEF $ 与 $ \triangle AED $ 相似？若存在，写出 $ AP $ 的长；若不存在，请说明理由.

答案： 17.
(1)证明:在正方形ABCD中，∠D=90°，CD//AB，
∴∠AED=∠PAF，
∵PF⊥AE，
∴∠D=∠PFA=90°，
∴△PAF∽△AED.
(2)解:当PA=PB=2时，
∵DE=EC，AP=PB，
∴PE//AD，此时∠DAE=∠PEF，∠D=∠PFE=90°，
可得△PEF∽△EAD；
当∠AED=∠PEF，∠D=∠PFE时，△ADE∽△PFE，
∵CD//AB，
∴∠AED=∠EAP=∠AEP，
∴PA=PE，
∵PF⊥AE，
∴AF=FE，
∵AD=4，DE=EC=2，∠D=90°，
∴AE=$\sqrt{DE^{2}+AD^{2}}$=$\sqrt{2^{2}+4^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
∴AF=$\sqrt{5}$，
∵△ADE∽△PFE，
∴$\frac{PE}{AE}$=$\frac{EF}{DE}$，
∴$\frac{PE}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴PE=5，
∴PA=5，
综上所述，满足条件的PA的值为2或5.
 

18. 如图，$ \odot O $ 的半径为 5，点 $ P $ 在 $ \odot O $ 外，$ PB $ 交 $ \odot O $ 于 $ A $，$ B $ 两点，$ PC $ 交 $ \odot O $ 于 $ D $，$ C $ 两点.
(1) 求证: $ PA \cdot PB = PD \cdot PC $.
(2) 若 $ PA = \frac{45}{4} $，$ AB = \frac{19}{4} $，$ PD = DC + 2 $，求点 $ O $ 到 $ PC $ 的距离.

答案： 18.
(1)证明:连结AD，BC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，
∴△PAD∽△PCB，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PD}{PB}$，
PA·PB=PC·PD；
(2)连结OD，作OE⊥DC，垂足为E，
∵PA=$\frac{45}{4}$，AB=$\frac{19}{4}$，PD=DC+2，
∴PB=16，PC=2DC+2，
∵PA·PB=PD·PC，
∴$\frac{45}{4}$×16=(DC+2)·(2DC+2)，
解得:DC=8或DC=-11(舍去)，
∴DE=4，
∵OD=5，
∴OE=3，即点O到PC的距离为3.