《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

15. 现有若干张相同的半圆形纸片,点$O$是圆心,直径$AB$的长是12cm,$C$是半圆弧上的一点(点$C$与点$A,B$不重合),连结$AC,BC$.
(1) 沿$AC,BC$剪下$\triangle ABC$,则$\triangle ABC$是直角三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
(2) 分别取半圆弧上的点$E,F$和直径$AB$上的点$G,H$.已知剪下的由这四个点顺次连结构成的四边形是一个边长为6cm的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形.(保留作图痕迹,不要求写作法)

答案：
15.解:
(1)直角.
(2)如图,由作图可知AE=EF=FH=HG=OA=$\frac{1}{2}$AB=6,即四边形EFHG
是边长为6cm的菱形.

16. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$为$\overset{\frown}{BD}$的中点,$CF$为$\odot O$的弦,且$CF\perp AB$,垂足为$E$,连结$BD$交$CF$于点$G$,连结$CD,AD,BF$.
(1) 求证:$\triangle BFG\cong\triangle CDG$.
(2) 若$AD = BE = 2$,求$BF$的长.

答案：
16.证明:
(1)
∵C是BD的中点,
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$,
∵AB是⊙O的直径,且CF⊥AB,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BF}$,
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BF}$,
∴CD=BF,在△BFG和△CDG中,
∵$\begin{cases}∠F=∠CDG,\\∠FGB=∠DGC,BF=CD,\end{cases}$
∴△BFG≌△CDG(AAS).
(2)如图,连结OF,设⊙O的半径为r,
Rt△ADB中,BD²=AB²-AD²,
即BD²=(2r)²-2²,Rt△OEF中,
OF²=OE²+EF²,即EF²=r²-(r - 2)²,
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BF}$,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CF}$,
∴BD=CF,
∴BD²=CF²=(2EF)²=4EF²,
即(2r)²-2²=4[r²-(r - 2)²],解得:r=1(舍)或3,
∴BF²=EF²+BE²=3²-(3 - 2)²+2²=12,
∴BF=2$\sqrt{3}$.