《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

15.计算:
(1)$\sqrt{2}$cos 45°-$\sqrt{3}$sin 60°. (2)tan 30°tan 60°+sin²45°+cos²45°.

答案： 15.解:
(1)原式=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$−$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
　　　　　　=1−$\frac{3}{2}$
　　　　　　=−$\frac{1}{2}$.
(2)原式=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$+1
　　　　　=2.

16.如图,AD是△ABC的中线,tan B=$\frac{1}{5}$,cos C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,AC=$\sqrt{2}$.求:
(1)BC的长.
(2)∠ADC的正弦值.

答案：
16.解:
(1)如图，作AH⊥BC于H.
　　　　　　　
　在Rt△ACH中，
∵cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{CH}{AC}$,AC=$\sqrt{2}$，
∴CH=1,AH=$\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}$=1,在Rt△ABH中，
∵tanB=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{1}{5}$,
∴BH=5,
∴BC=BH+CH=6.
(2)
∵BD=CD,
∴CD=3,DH=2,
　AD=$\sqrt{AH^{2}+DH^{2}}$=$\sqrt{5}$,在Rt△ADH中，
　sin∠ADH=$\frac{AH}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴∠ADC的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$。

17.如图,在平面直角坐标系内,点O为原点,点A在x轴的正半轴上,点B在第一象限内,且AO=BO=10,tan∠BOA=$\frac{3}{4}$.
(1)求点B的坐标.
(2)求cos∠BAO的值.

答案：
17.解:
(1)作BC⊥OA于C,如图，在Rt△BOC中，
　　　　　　　　　
　设BC=3t,OC=4t,
∴OB=$\sqrt{BC^{2}+OC^{2}}$=5t，
∴5t=10,解得t=2,
∴BC=6,OC=8,
∴B点坐标为(8,6)。
(2)
∵OA=10,OC=8,
∴AC=2,在Rt△ACB中，
∵BC=6,AC=2,
∴AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,即cos∠BAO=$\frac{\sqrt{10}}{10}$。