《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

18. 如图, 二次函数 $ y _ { 1 } = x ^ { 2 } + m x + 1 $ 的图象与 $ y $ 轴相交于点 $ A $, 与反比例函数 $ y _ { 2 } = \frac { k } { x } ( x ＞ 0 ) $ 的图象相交于点 $ B ( 3, 1 ) $.
(1) 求这两个函数的表达式.
(2) 当 $ y _ { 1 } $ 随 $ x $ 的增大而增大且 $ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } $ 时, 直接写出 $ x $ 的取值范围.
(3) 平行于 $ x $ 轴的直线 $ l $ 与函数 $ y _ { 1 } $ 的图象相交于点 $ C, D $ (点 $ C $ 在点 $ D $ 的左边), 与函数 $ y _ { 2 } $ 的图象相交于点 $ E $. 若 $ \triangle A C E $ 与 $ \triangle B D E $ 的面积相等, 求点 $ E $ 的坐标.

答案：
18.解:
(1)二次函数的解析式为y₁=x²−3x+1，反比例函数的解析式为y₂=$\frac{3}{x}$(x＞0)。
(2)
∵二次函数的解析式为y₁=x²−3x +1，
∴对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，由图象知，

当y₁随x的增大而增大且y₁＜y₂时，
$\frac{3}{2}$≤x＜3。
(3)
∵当x=0时，y₁=1，
∴A(0,1)
∵B(3,1)，
∴△ACE的
CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等，
∵△ACE与
△BDE的面积相等，
∴CE=DE，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，当x=$\frac{3}{2}$时，y₂=2，
∴E($\frac{3}{2}$,2)。