《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

17. 如图,以点 $ O $ 为旋转中心,将线段 $ AB $ 按顺时针方向旋转 $ \alpha $ 得到线段 $ A^′B^′ $,连结 $ AA^′ $,$ BB^′ $.
(1) 比较 $ \angle OAA^′ $ 与 $ \angle OBB^′ $ 的大小,并说明理由.
(2) 当 $ \alpha = 45° $ 时,若 $ OA = 3 $,$ OB = 4 $,求线段 $ AB $ 扫过的图形的面积.

答案：
17.
(1)$\angle OAA'=\angle OBB'$，理由：
$\because$将线段$AB$按顺时针方向旋转$\alpha$得到线段$A'B'$，
$\therefore \angle AOA'=\angle BOB'=\alpha$，$AO=A'O$，
$BO=B'O$，$\therefore \angle OAA'=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)$，
$\angle OBB'=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)$，
$\therefore \angle OAA'=\angle OBB'$.

(2)解：$\because \alpha=45^{\circ}$，$\therefore \angle AOA'=\angle BOB'=45^{\circ}$，
$\because OA=3$，$OB=4$，$\therefore$线段$AB$扫过的图形的面积$=S_{扇形BOB'}+S_{\triangle AOB}-S_{扇形AOA'}-S_{\triangle AOB}=S_{扇形BOB'}-S_{扇形AOA'}=\frac{7\pi}{8}$.

18. 矩形 $ ABCD $ 的一边长 $ AB = 4 $,且 $ BC \gt AB $,以边 $ AB $ 为直径的 $ \odot O $ 交对角线 $ AC $ 于点 $ H $,$ AH = 2 $,如图,点 $ K $ 为下半圆上一点.
(1) 求 $ \angle HAB $ 的度数.
(2) 求图中阴影部分的面积.
(3) 若圆上到直线 $ AK $ 距离等于 $ 3 $ 的点有且只有一个,请直接写出线段 $ AK $ 的长.

答案：
18.
(1)连结$OH$，$\because AB=4$，$AH=2$，
$\therefore OA=OH=AH=2$，
$\therefore \triangle OAH$是等边三角形，$\therefore \angle HAB=60^{\circ}$.
(2)过$H$作$HE\perp AO$于$E$，
$\because \angle HAB=60^{\circ}$，$AH=2$，
$\therefore HE=\frac{\sqrt{3}}{2}AH=\sqrt{3}$，
$\because AC=2AB=8$，$CD=AB=4$，
$\therefore AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=4\sqrt{3}$，
$\therefore$图中阴影部分的面积$=S_{\triangle ABC}-(S_{扇形HAO}-S_{\triangle AOH})=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4-(\frac{60\cdot\pi×2^{2}}{360}-\frac{1}{2}×2×\sqrt{3})=9\sqrt{3}-\frac{2}{3}\pi$.

(3)过$O$作$MN\perp AK$于$N$，交$\odot O$于$M$，由题意可知$MN=3$，
$\because OM=OA=2$，$\therefore ON=1$，$\therefore AN=\sqrt{OA^{2}-ON^{2}}=\sqrt{3}$，
$\therefore AK=2AN=2\sqrt{3}$.