《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

17. 下右图是一个小商场的纵截面图(矩形$ABCD$)，$AD$是商场的顶部，$BC$是商场的地面，$BC = 20\ m$，$AB$和$CD$是商场的两面墙壁，$MN$是顶部正中央的一个长方形的灯饰($AM = DN$). 小张同学带了一块镜子和一根激光笔，他先把激光笔挂在墙壁$CD$的$G$处，镜子水平放在地面$F$处，$CG = CF = 1.6\ m$，发现激光笔的反射光照到了$N$处；再把激光笔挂在墙壁$AB$的$L$处，镜子水平放在地面$P$处，$LB = 1.6\ m$，$BP = 2.4\ m$，发现激光笔的反射光恰好又照到了$N$处，请计算$AB$的高度和$MN$的长度.

答案： 17.解：过点N作NT⊥BC于T，则四边形ABTN，四边形CDNT都是矩形，设AB = NT = CD = x(cm).
∵∠B = ∠PTN = 90°，∠NPT = ∠LPB，
∴△LBP∽△NTP，
∴$\frac{LB}{NT}=\frac{PB}{PT}$，
∴PT = $\frac{3}{2}$x，
同理可证，△GCF∽△NTF，
可得FT = NT = x，
∵BP + PT + TF + CF = 20，
∴2.4 + $\frac{3}{2}$x + x + 1.6 = 20，
∴x = 6.4，
∴DN = CT = 6.4 + 1.6 = 8(m)，
AB = CD = 6.4(m)，
∴AM = DN = 8(m)，
∴MN = AD - AM - DN = 20 - 16 = 4(m)，
答：AB的高度为6.4m，MN的长度为4m.

18. 如图，在等边三角形$ABC$中，点$D$，$E$分别是边$BC$，$CA$上的点，且$BD = CE$，连结$AD$，$BE$交于点$P$.
(1) 求证:$\triangle ABE \cong \triangle CAD$.
(2) 若$AE:EC = 5:3$，求$BP:PE$的值.
(3) 若点$P$恰好落在以$AC$为直径的圆上，求$AE:EC$的值.

答案：
18.
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB = AC = BC，∠BAC = ∠BCA = 60°，
∵BD = CE，
∴CD = AE，
∴△ABE≌△CAD(SAS).


(2)解：过点E作EF//AD交CD于F，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{CF}{DF}$，
∵AE:EC = 5:3，设AE = CD = 5a，CE = BD = 3a，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{CF}{DF}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{CD}{DF}=\frac{8}{5}$，
∴DF = $\frac{5}{8}$CD = $\frac{5}{8}$·5a = $\frac{25}{8}$a，
∵PD//EF，
∴$\frac{BP}{PE}=\frac{BD}{DF}=\frac{3a}{\frac{25}{8}a}=\frac{24}{25}$，
∴BP:PE的值为$\frac{24}{25}$。
(3)连结CP，由
(1)知：△ABE≌△CAD，
∴∠CAD = ∠ABE，
∴∠APE = ∠BAP + ∠ABP = ∠BAP + ∠PAE = 60°，
∴∠DPE = 120°，
∴∠DPE + ∠DCE = 120° + 60° = 180°，
∴C，D，P，E四点共圆，
∵点P恰好落在以AC为直径的圆上，
∴∠DPC = ∠APC = 90°，
∴点P也落在以CD为直径的圆上，
∵∠APE = 60°，
∴∠CPE = 30°，
连结DE，则∠CED = 90°，
∠CDE = ∠CPE = 30°，
∴$\frac{CD}{CE}=2$，
∵CD = AE，
∴$\frac{AE}{EC}=2$。