《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

17. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,弦$CD\perp AB$于点$E$,点$P$在$\odot O$上,$PB$与$CD$交于点$F$,$\angle PBC = \angle C$.
(1) 求证:$CB// PD$.
(2) 若$\angle PBC = 22.5^{\circ}$,$\odot O$的半径$R = 2$,求劣弧$AC$的长度.

答案： 17.解:
(1)
∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，
∴∠C=∠D，
∴CB//PD.
(2)连结OC，OD.
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴$\overset{\frown}{BC}$=$\overset{\frown}{BD}$，
∵∠PBC=∠DCB=22.5°，
∴∠BOC=∠BOD=2∠DCB=45°，
∴∠AOC=135°，
∴劣弧AC的长为$\frac{135×\pi×2}{180}$=$\frac{3\pi}{2}$.

18. 已知:$\odot O$的两条弦$AB$,$CD$相交于点$M$,且$AB = CD$.
(1) 如图1,连结$AD$.求证:$AM = DM$.
(2) 如图2,若$AB\perp CD$,在弧$BD$上取一点$E$,使$\overgroup{BE} = \overgroup{BC}$,$AE$交$CD$于点$F$,连结$AD$,$DE$,$AE$.
① 判断$\angle E$与$\angle DFE$是否相等,并说明理由.
② 若$DE = 7$,$AM + MF = 17$,求$\triangle ADF$的面积.

答案： 18.
(1)证明：
∵AB=CD，
∴$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{AC}$+$\overset{\frown}{BC}$=$\overset{\frown}{BC}$+$\overset{\frown}{BD}$，
∴$\overset{\frown}{AC}$=$\overset{\frown}{BD}$，
∴∠A=∠D，
∴AM=DM.
(2)①∠E与∠DFE相等.理由如下：连结AC，
∵BE=BC，
∴∠CAB=∠EAB，
∵AB⊥CD，
∴AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC，
∵∠ACF=∠E，∠AFC=∠DFE，
∴∠DFE=∠E；
②
∵∠DFE=∠E，
∴DF=DE=7，
∵AM=DM，
∴AM=MF+7，
∵AM+MF=17，
∴MF+7+MF=17，
解得MF=5，
∴AM=12，
∴$S_{△ADF}$=$\frac{1}{2}$DF·AM=$\frac{1}{2}$×7×12=42.