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17. 如图,一圆弧形桥拱的圆心为$E$,拱桥的水面跨度$AB = 80$米,桥拱到水面的最大高度$DF$为20米.
(1) 求桥拱的半径.
(2) 若水面上涨后水面跨度为60米,求水面上涨的高度.
(1) 求桥拱的半径.
(2) 若水面上涨后水面跨度为60米,求水面上涨的高度.
答案：
17.解:
(1)如图，作EF⊥AB于F，
延长EF交圆于点D，
∴$AF=FB=\frac{1}{2}AB=40$，$EF=ED - FD=AE - DF$，
∴$AE^{2}=AF^{2}+EF^{2}=AF^{2}+(AE - DF)^{2}$，设圆的半径是r，则$r^{2}=40^{2}+(r - 20)^{2}$，解得r=50;即桥拱的半径为50米.
(2)设MN交ED于H，连结EM，如图所示，则$MH=NH=\frac{1}{2}MN=30$米，
∴$EH=\sqrt{50^{2}-30^{2}}=40$米，
∵EF=50 - 20=30米，
∴HF=EH - EF=10米，
∴水面上涨的高度为10米.
17.解:
(1)如图，作EF⊥AB于F，
延长EF交圆于点D，
∴$AF=FB=\frac{1}{2}AB=40$，$EF=ED - FD=AE - DF$，
∴$AE^{2}=AF^{2}+EF^{2}=AF^{2}+(AE - DF)^{2}$，设圆的半径是r，则$r^{2}=40^{2}+(r - 20)^{2}$，解得r=50;即桥拱的半径为50米.
(2)设MN交ED于H，连结EM，如图所示，则$MH=NH=\frac{1}{2}MN=30$米，
∴$EH=\sqrt{50^{2}-30^{2}}=40$米，
∵EF=50 - 20=30米，
∴HF=EH - EF=10米，
∴水面上涨的高度为10米.
18. 如图,点$A,B,C$在$\odot O$上,$AB = CB = 9,AD// BC,CD\perp AD$,且$AD = 2$.
(1) 求线段$CD,AC$的长.
(2) 求$\odot O$的半径.
(1) 求线段$CD,AC$的长.
(2) 求$\odot O$的半径.
答案：
18.解:
(1)作AE⊥BC于E，如图1所示，则CE=AD=2，
BE=BC - CE=7，$CD=AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=4\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{AE^{2}+EC^{2}}=6$.
(2)作BF⊥AC于F，则BF必经过圆心O，连结OA，如图2所示.则$AF=CF=\frac{1}{2}AC=3$，
∴BF垂直平分AC，
∴$BF=\sqrt{AB^{2}-AF^{2}}=6\sqrt{2}$，
设⊙O的半径为r，则$OF=6\sqrt{2}-r$，
在Rt△OAF中，由勾股定理得：$(6\sqrt{2}-r)^{2}+3^{2}=r^{2}$，
解得：$r=\frac{27\sqrt{2}}{8}$，即⊙O的半径为$\frac{27\sqrt{2}}{8}$.
18.解:
(1)作AE⊥BC于E，如图1所示，则CE=AD=2，
BE=BC - CE=7，$CD=AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=4\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{AE^{2}+EC^{2}}=6$.
(2)作BF⊥AC于F，则BF必经过圆心O，连结OA，如图2所示.则$AF=CF=\frac{1}{2}AC=3$，
∴BF垂直平分AC，
∴$BF=\sqrt{AB^{2}-AF^{2}}=6\sqrt{2}$，
设⊙O的半径为r，则$OF=6\sqrt{2}-r$，
在Rt△OAF中，由勾股定理得：$(6\sqrt{2}-r)^{2}+3^{2}=r^{2}$，
解得：$r=\frac{27\sqrt{2}}{8}$，即⊙O的半径为$\frac{27\sqrt{2}}{8}$.
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