《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

18. 设一次函数 $ y_1 = x + a + b $ 和二次函数 $ y_2 = x(x + a) + b $.
(1) 若 $ y_1, y_2 $ 的图象都经过点 $ (-2, 1) $, 求这两个函数的表达式.
(2) 求证: $ y_1, y_2 $ 的图象必有交点.
(3) 若 $ a ＞ 0 $, $ y_1, y_2 $ 的图象交于点 $ (x_1, m), (x_2, n)(x_1 ＜ x_2) $, 设 $ (x_3, n) $ 为 $ y_2 $ 图象上一点 $ (x_3 \neq x_2) $, 求 $ x_3 - x_1 $ 的值.

答案： 18.解:
(1)一次函数为$y_{1} = x + 3$，二次函数为$y_{2} = x^{2} + 2x + 1$。
(2)当$y_{1} = y_{2}$时，得$x + a + b = x(x + a) + b$，
　化简为$x^{2} + (a - 1)x - a = 0$，
　$\Delta = (a - 1)^{2} + 4a = (a + 1)^{2} \geq 0$，
∴方程$x + a + b = x(x + a) + b$有解，
∴$y_{1}$，$y_{2}$的图象必有交点。
(3)当$y_{1} = y_{2}$时，$x + a + b = x(x + a) + b$，
　化简为：$x^{2} + (a - 1)x - a = 0$，
　$(x + a)(x - 1) = 0$，
∵$a ＞ 0$，$x_{1} ＜ x_{2}$，
∴$x_{1} = - a$，$x_{2} = 1$，
∴$n = 1 + a + b$，
　当$y = 1 + a + b$时，$y_{2} = x(x + a) + b = 1 + a + b$，
　化简为：$x^{2} + ax - a - 1 = 0$，$(x + a + 1)(x - 1) = 0$，
　解得$x = 1$(等于$x_{2}$)或$x = - a - 1$，
∴$x_{3} = - a - 1$，
∴$x_{3} - x_{1} = - a - 1 - ( - a) = - 1$。