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【例3】我们知道$a÷ b= \dfrac{a}{b}$,$b÷ a= \dfrac{b}{a}$,显然$a÷ b与b÷ a$的结果互为倒数。
小明利用这一思想方法计算$\left(-\dfrac{1}{30}\right)÷ \left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5}\right)$的过程如下：
因为$\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5}\right)÷ \left(-\dfrac{1}{30}\right)= \left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5}\right)× (-30)= -20 + 3 - 5 + 12= -10$,
故原式$=-\dfrac{1}{10}$。
请你仿照这种方法计算：$\left(-\dfrac{1}{42}\right)÷ \left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}\right)$。
小明利用这一思想方法计算$\left(-\dfrac{1}{30}\right)÷ \left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5}\right)$的过程如下：
因为$\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5}\right)÷ \left(-\dfrac{1}{30}\right)= \left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5}\right)× (-30)= -20 + 3 - 5 + 12= -10$,
故原式$=-\dfrac{1}{10}$。
请你仿照这种方法计算：$\left(-\dfrac{1}{42}\right)÷ \left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7}\right)$。
答案：
解：因为$(\frac {1}{6}-\frac {3}{14}+\frac {2}{3}-\frac {2}{7})÷(-\frac {1}{42})=(\frac {1}{6}-\frac {3}{14}+\frac {2}{3}-\frac {2}{7})×(-42)=\frac {1}{6}×(-42)-\frac {3}{14}×(-42)+\frac {2}{3}×(-42)-\frac {2}{7}×(-42)=-7+9-28+12=-14$，所以$(-\frac {1}{42})÷(\frac {1}{6}-\frac {3}{14}+\frac {2}{3}-\frac {2}{7})=-\frac {1}{14}$。
【变式1】阅读材料,回答问题。
计算：$\left(-\dfrac{1}{6}\right)÷ \left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}\right)$。
解：方法一：原式$=\left(-\dfrac{1}{6}\right)÷ \left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{6}\right)= \left(-\dfrac{1}{6}\right)÷ \left(-\dfrac{2}{6}\right)= \dfrac{1}{2}$。
方法二：原式的倒数为$\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}\right)÷ \left(-\dfrac{1}{6}\right)= \left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}\right)× (-6)= \dfrac{1}{6}× (-6)-\dfrac{1}{2}× (-6)= -1 + 3= 2$,故原式$=\dfrac{1}{2}$。
用你喜欢的方法计算：$\left(-\dfrac{1}{12}\right)÷ \left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{1}\right)$。
计算：$\left(-\dfrac{1}{6}\right)÷ \left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}\right)$。
解：方法一：原式$=\left(-\dfrac{1}{6}\right)÷ \left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{6}\right)= \left(-\dfrac{1}{6}\right)÷ \left(-\dfrac{2}{6}\right)= \dfrac{1}{2}$。
方法二：原式的倒数为$\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}\right)÷ \left(-\dfrac{1}{6}\right)= \left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}\right)× (-6)= \dfrac{1}{6}× (-6)-\dfrac{1}{2}× (-6)= -1 + 3= 2$,故原式$=\dfrac{1}{2}$。
用你喜欢的方法计算：$\left(-\dfrac{1}{12}\right)÷ \left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{1}\right)$。
答案：
解：原式$=(-\frac {1}{12})÷(\frac {3}{12}-\frac {4}{12}-\frac {6}{12})=(-\frac {1}{12})÷(-\frac {7}{12})=\frac {1}{12}×\frac {12}{7}=\frac {1}{7}$。
【变式2】阅读下面解题过程：
计算：$5÷ \left(\dfrac{1}{3}-2\dfrac{1}{2}-2\right)÷ 6$。
解：$5÷ \left(\dfrac{1}{3}-2\dfrac{1}{2}-2\right)÷ 6$
$=5÷ \left(-\dfrac{25}{6}\right)× 6…①$
$=5÷ (-25)…②$
$=-\dfrac{1}{5}$。…③
回答：
(1)上面解题过程中有两处错误,第一处是第______步,错因是______,第二处是______,错因是______。
(2)正确结果应是______。
计算：$5÷ \left(\dfrac{1}{3}-2\dfrac{1}{2}-2\right)÷ 6$。
解：$5÷ \left(\dfrac{1}{3}-2\dfrac{1}{2}-2\right)÷ 6$
$=5÷ \left(-\dfrac{25}{6}\right)× 6…①$
$=5÷ (-25)…②$
$=-\dfrac{1}{5}$。…③
回答：
(1)上面解题过程中有两处错误,第一处是第______步,错因是______,第二处是______,错因是______。
(2)正确结果应是______。
答案：
(1)① 除以一个数等于乘以这个数的倒数 ② 同级运算应按从左到右的顺序依次进行计算
(2)$-\frac {1}{5}$【解析】
(1)第一处是第①步,错因是除以一个数等于乘以这个数的倒数,第二处是②,错因是同级运算应按从左到右的顺序依次进行计算。
(2)$5÷(\frac {1}{3}-2\frac {1}{2}-2)÷6=5÷(-\frac {25}{6})×\frac {1}{6}=5×(-\frac {6}{25})×\frac {1}{6}=-\frac {1}{5}$。
(1)① 除以一个数等于乘以这个数的倒数 ② 同级运算应按从左到右的顺序依次进行计算
(2)$-\frac {1}{5}$【解析】
(1)第一处是第①步,错因是除以一个数等于乘以这个数的倒数,第二处是②,错因是同级运算应按从左到右的顺序依次进行计算。
(2)$5÷(\frac {1}{3}-2\frac {1}{2}-2)÷6=5÷(-\frac {25}{6})×\frac {1}{6}=5×(-\frac {6}{25})×\frac {1}{6}=-\frac {1}{5}$。
【例4】定义新运算“★”：$a★b= ab - b^{2}$。例如$2★3= 2× 3 - 3^{2}= -3$,则$(3★5)★(-1)= $______。
答案：
9
【变式】对$a,b定义一种新运算T$：规定$T(a,b)= ab^{3}-4ab + b$。如$T(1,1)= 1× 1^{3}-4× 1× 1 + 1= -2$,则$T(3,-1)= $______。
答案：
8
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