《2025年天星教育28天预习新高一物理》

2.一辆汽车以$v_0 = 8 m/s$的初速度开始做匀加速直线运动,$4 s末的速度达到v_1 = 24 m/s$,试求：
(1)加速度的大小；
(2)开始加速$6 s$内的位移大小。

答案： 2.
(1) $4m/s^{2}$
(2) $120m$
(1) 加速度的大小 $a=\frac{v_{1}-v_{0}}{t}=\frac{24 - 8}{4}m/s^{2}=4m/s^{2}$。
(2) 开始加速 $6s$ 内的位移大小
$x=v_{0}t_{6}+\frac{1}{2}at_{6}^{2}=(8×6+\frac{1}{2}×4×6^{2})m=120m$。

典例1 如图甲所示,一滑块(可视为质点)以初速度$v_0 = 16 m/s从A$点沿斜面上滑,到达最高点$B后返回至出发点A$。取沿斜面向上方向为正方向,并以滑块由$A点出发时为t = 0$时刻,滑块在$t = 6 s时返回到A$点,整个过程的$v - t$图像如图乙所示。
(1)求滑块上滑过程的最大位移；
(2)求滑块返回到$A$点的速度大小；
(3)已知$C点距A点12 m$,求滑块经过$C$点时对应的时刻。

解析 (1)$v - t$图像与时间轴围成的面积表示位移,由题图乙可知,上滑过程的最大位移为【破题点】滑块上滑达到最大位移时速度为0,故$t = 2 s$时出现最大位移。
$x = \frac{1}{2}×16×2 m = 16 m$。
(2)滑块返回$A$点过程位移大小等于上滑过程位移大小,故$x = \frac{v'}{2}×Δt$,其中$Δt = 4 s$【点关键】仍然使用$v - t$图像与时间轴围成的面积表示位移进行计算。
解得滑块返回到$A点的速度大小v' = 8 m/s$。
(3)滑块上滑经过$C$点时,由位移—时间公式有【避易错】经过$C$点分上滑和下滑,容易忽视多解性而致错。
$x_1 = v_0t_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2$,$x_1 = 12 m$
其中$a_1 = \frac{0 - 16}{2} m/s^2 = -8 m/s^2$,解得$t_1 = 1 s$
滑块下滑经过$C$点过程,可看成由$B$点开始静止下滑的匀加速直线运动,初速度为0,有
$x_2 = x - x_1 = \frac{1}{2}a_2(t_2 - 2 s)^2$
其中$a_2 = \frac{v'}{Δt} m/s^2 = 2 m/s^2$,解得$t_2 = 4 s$
则滑块经过$C点对应的时刻为1 s和4 s$。

答案： 【解析】：
（1）本题主要考查了匀变速直线运动的位移与时间的关系，以及$v-t$图像的应用，由$v-t$图像与时间轴围成的面积表示位移，可求出滑块上滑过程的最大位移，滑块上滑达到最大位移时速度为$0$，由题图乙可知，$t=2s$时滑块到达最高点$B$，此时位移最大，根据$v-t$图像与时间轴围成的面积表示位移，可得最大位移为$x=\frac{1}{2}×16×2m=16m$。
（2）本题可根据$v-t$图像与时间轴围成的面积表示位移，结合滑块返回$A$点过程位移大小等于上滑过程位移大小来求解，滑块返回$A$点过程位移大小等于上滑过程位移大小，即$x=\frac{v'}{2}×\Delta t$，其中$\Delta t=6s-2s=4s$，$x=16m$，代入可得$16=\frac{v'}{2}×4$，解得滑块返回到$A$点的速度大小$v'=8m/s$。
（3）本题需要分滑块上滑经过$C$点和下滑经过$C$点两种情况进行讨论，利用位移-时间公式求解，滑块上滑经过$C$点时，由位移-时间公式$x_1=v_0t_1+\frac{1}{2}a_1t_1^2$，其中$x_1=12m$，$v_0=16m/s$，$a_1=\frac{0-16}{2}m/s^2=-8m/s^2$，代入可得$12=16t_1+\frac{1}{2}×(-8)t_1^2$，即$t_1^2-4t_1+3=0$，解得$t_1=1s$或$t_1=3s$（$t_1=3s$时滑块已返回，舍去），所以上滑经过$C$点时刻为$1s$，滑块下滑经过$C$点过程，可看成由$B$点开始静止下滑的匀加速直线运动，初速度为$0$，$B$点到$C$点的距离$x_2=x-x_1=16m-12m=4m$，由$x_2=\frac{1}{2}a_2(t_2-2s)^2$，其中$a_2=\frac{v'}{\Delta t}=\frac{8}{4}m/s^2=2m/s^2$，代入可得$4=\frac{1}{2}×2×(t_2-2)^2$，即$(t_2-2)^2=4$，解得$t_2=4s$或$t_2=0s$（$t_2=0s$时滑块在$B$点，舍去），所以下滑经过$C$点时刻为$4s$，则滑块经过$C$点对应的时刻为$1s$和$4s$。
【答案】：
（1）$16m$；
（2）$8m/s$；
（3）$1s$和$4s$