《2025年天星教育28天预习新高一物理》

3. 如图所示,天花板上用细绳吊起两个用轻弹簧相连的质量均为 m 的小球,两小球均保持静止。突然剪断细绳,剪断瞬间上面小球 A 与下面小球 B 的合力分别为(以竖直向上为正方向)( )


A.$ 2mg $ $ 0 $
B.$ -mg $ $ mg $
C.$ 0 $ $ 2mg $
D.$ -2mg $ $ 0 $

答案：
D　剪断前对A、B两球进行受力分析，如图甲所示。
A球：$F_{T}-mg-F=0$

B球：$F'-mg=0$
$F=F'$
解得$F_{T}=2mg$，$F=mg$
剪断细绳瞬间，两球受力分析如图乙所示。
【破瓶颈】细绳剪断瞬间A球受两个力，绳上弹力发生突变，拉力$F_{T}$不存在，而弹簧形变不可突变，弹力不变。
A球：$-mg-F=F_{合A}$

B球：$F'-mg=F_{合B}$
解得$F_{合A}=-2mg$，$F_{合B}=0$
故D正确。

典例 1 如图所示,用绳 AC 和 BC 吊起一重物处于静止状态,AC、BC 与竖直方向夹角分别为 $ 37^{\circ} $ 和 $ 53^{\circ} $,物体重 150 N。( $ \sin 37^{\circ} = 0.6 $, $ \cos 37^{\circ} = 0.8 $)
(1)求 AC、BC 绳上拉力大小。
(2)若 AC 能承受的最大拉力为 150 N,BC 能承受的最大拉力为 105 N,求所挂重物的最大重力。

解析 (1)取 C 点为研究对象进行受力分析,如图所示
【明思路】AC、BC 两绳交点 C 为死结,则两绳上拉力可以不相等,为两个不同大小、不同方向的拉力。
AC 上拉力为 $ T_{1} = mg\cos 37^{\circ} = 150 × 0.8 \, \text{N} = 120 \, \text{N} $
BC 上拉力为 $ T_{2} = mg\cos 53^{\circ} = 150 × 0.6 \, \text{N} = 90 \, \text{N} $。
(2)当 BC 上的拉力是 105 N 时,AC 上的拉力 $ T_{1}' = \frac{\cos 37^{\circ}}{\cos 53^{\circ}} \cdot T_{2}' = \frac{0.8}{0.6} × 105 \, \text{N} = 140 \, \text{N} ＜ 150 \, \text{N} $
此时 AC 还未断,所以 BC 绳先断,则重物的最大重力 $ G_{m} = \frac{T_{2}'}{\cos 53^{\circ}} = \frac{105}{0.6} \, \text{N} = 175 \, \text{N} $。

答案： 【解析】：
本题主要考查力的平衡条件以及三角函数的应用。
（1）取$C$点为研究对象进行受力分析，$C$点受到重物的拉力$mg$，$AC$绳的拉力$T_1$，$BC$绳的拉力$T_2$，由于$C$点处于静止状态，所以这三个力必须平衡。
根据力的平衡条件，可以得到两个方程：
$T_1\cos 37^\circ + T_2\cos 53^\circ = mg$ （水平方向），
$T_1\sin 37^\circ = T_2\sin 53^\circ$ （竖直方向，但由于$C$点竖直方向没有位移，所以此方程实际上表示的是两绳拉力在竖直方向的分力相等，但在此题中不需要直接使用）。
由于$C$点处于平衡状态，可以直接利用三角函数关系求解$T_1$和$T_2$：
$T_1 = mg\cos 37^\circ = 150 × 0.8 = 120N$，
$T_2 = mg\cos 53^\circ = 150 × 0.6 = 90N$。
（2）当$AC$绳或$BC$绳达到其能承受的最大拉力时，重物的重力将达到最大。需要分别考虑$AC$绳和$BC$绳达到最大拉力的情况，然后取两者中的较小值作为重物的最大重力。
当$AC$绳达到最大拉力$150N$时，可以利用三角函数关系求出此时$BC$绳的拉力：
$T_2' = \frac{T_1'\cos 53^\circ}{\cos 37^\circ} = \frac{150 × 0.6}{0.8} = 112.5N$，
由于$112.5N ＞ 105N$（$BC$绳的最大拉力），所以$BC$绳会先断。
因此，当$BC$绳达到最大拉力$105N$时，重物的重力将达到最大。此时，可以利用三角函数关系求出重物的最大重力：
$G_m = \frac{T_2'}{\cos 53^\circ} = \frac{105}{0.6} = 175N$。
【答案】：
(1) $AC$、$BC$绳上拉力大小分别为$120N$和$90N$；
(2) 所挂重物的最大重力为$175N$。