《2025年天星教育28天预习新高一物理》

1. (多选)四只蚂蚁同时从圆形轨道的 $A$ 点出发,分别沿 $ABC$ 和 $ADE$ 方向爬行,经过相同的时间分别到达 $B$、$C$、$D$、$E$ 四个位置,以下说法正确的是( )

A. 爬到 $B$、$D$ 位置的两只蚂蚁,位移相同
B. 爬到 $B$、$D$ 位置的两只蚂蚁,路程可能相同
C. 爬到 $C$、$E$ 位置的两只蚂蚁,平均速度相同
D. 爬到 $C$、$E$ 位置的两只蚂蚁,平均速率可能相同

答案：
BD
爬到 B、D 位置的两只蚂蚁，位移方向不同，路程可能相同，A 错误，B 正确。

爬到 C、E 位置的两只蚂蚁，位移方向不同，则平均速度不同；路程可能相同，平均速率可能相同。C 错误，D 正确。
[避易错]题中未说明$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，不能想当然认为爬到 B、D 位置的两只蚂蚁路程一定相同。

典例 2 登山运动员用时 $1h40min$ 由宿营地 $X$ 点爬到山顶 $Y$ 点,在山道上通过的路程是 $2400m$,相对于 $X$ 点升高了 $1200m$,如图所示。

(1)计算运动员由 $X$ 点到 $Y$ 点的位移。
(2)计算他爬山的平均速率。
(3)计算他爬山的平均速度的大小。
解析 (1)位移大小等于初、末位置间的距离,$X$ 点到 $Y$ 点的位移大小为 $x = \sqrt{1200^2 + 1600^2}m = 2000m$,方向由 $X$ 指向 $Y$。
(2)平均速率为 $\overline{v} = \frac{s}{t} = \frac{2400}{6000}m/s = 0.4m/s$。
【避易错】平均速率是路程与时间的比,是标量；平均速度是位移与时间的比,是矢量。
(3)平均速度大小为 $\overline{v'} = \frac{x}{t} = \frac{2000}{6000}m/s = 0.33m/s$。

答案： 【解析】：
本题主要考查位移、路程、平均速率和平均速度的计算。
（1）位移是初位置指向末位置的有向线段，从图中可看出运动员由$X$到$Y$的位移，其水平位移为$1600m$（通过山道水平距离和升高距离利用勾股定理计算得出水平距离为$\sqrt{2400^{2}-1200^{2}} = 1600m$ ），竖直位移为$1200m$，根据勾股定理可算出位移大小。
（2）平均速率是路程与时间的比值，已知路程为$2400m$，时间为$1h40min$，将其换算为秒后代入公式计算。
（3）平均速度是位移与时间的比值，已求得位移大小为$2000m$，时间同样为$1h40min$，换算为秒后代入公式计算。
（1）位移是初位置指向末位置的有向线段，从$X$到$Y$，水平位移$x_1 = 1600m$，竖直位移$x_2 = 1200m$，根据勾股定理，位移大小$x=\sqrt{1600^{2}+1200^{2}} = 2000m$，方向由$X$指向$Y$。
（2）已知通过的路程$s = 2400m$，时间$t = 1h40min=1×3600 + 40×60 = 6000s$，根据平均速率公式$\overline{v}=\frac{s}{t}$，可得$\overline{v}=\frac{2400}{6000}=0.4m/s$。
（3）位移$x = 2000m$，时间$t = 6000s$，根据平均速度公式$\overline{v}'=\frac{x}{t}$，可得$\overline{v}'=\frac{2000}{6000}\approx0.33m/s$。
【答案】：
(1)$2000m$，由$X$指向$Y$；
(2)$0.4m/s$；
(3)$0.33m/s$

2. 一质点从 $O$ 点出发,沿 $x$ 轴正方向做直线运动,它的位移大小与时间的关系式为 $x = 4t^2(m)$。
(1)求 $t_1 = 3s$ 到 $t_1' = 5s$ 这段时间内的平均速度大小；
(2)求 $t_1 = 3s$ 到 $t_2 = 3.1s$ 这段时间内的平均速度大小；
(3)求 $t_1 = 3s$ 到 $t_3 = 3.01s$ 这段时间内的平均速度大小；
(4)通过以上计算,你认为哪个平均速度大小更接近 $t_1 = 3s$ 时刻的瞬时速度大小？

答案：
(1)32 m/s
(2)24.4 m/s
(3)24.04 m/s
(4)见解析
(1)$\overline{v}_{1}=\frac{\Delta x_{1}}{\Delta t_{1}}=\frac{4×(5^{2}-3^{2})}{5 - 3}m/s = 32m/s$。
(2)$\overline{v}_{2}=\frac{\Delta x_{2}}{\Delta t_{2}}=\frac{4×(3.1^{2}-3^{2})}{3.1 - 3}m/s = 24.4m/s$。
(3)$\overline{v}_{3}=\frac{\Delta x_{3}}{\Delta t_{3}}=\frac{4×(3.01^{2}-3^{2})}{3.01 - 3}m/s = 24.04m/s$。
(4)因为$\Delta t$越小所对应的平均速度越接近瞬时速度，所以$\overline{v}_{3}=24.04m/s$更接近$t_{1}=3s$时刻的瞬时速度大小。