《2025年1课3练单元达标测试六年级数学上册苏教版》

表面涂色的正方体
魔方,又叫鲁比克方块,最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具。通常意义下的魔方,是指狭义的三阶魔方。常规竞速玩法是将魔方打乱,然后在最短的时间内复原。广义的魔方,指各类可以通过转动打乱和复原的几何体。
活动一 观察表面涂色的正方体
3×3×3的正方体表面涂色后切开,在切成的小正方体中,有(8)个三面涂色的,(12)个两面涂色的,(6)个一面涂色的,(1)个没有涂色的。
4×4×4的正方体表面涂色后切开,在切成的小正方体中,有(8)个三面涂色的,(24)个两面涂色的,(24)个一面涂色的,(8)个没有涂色的。
猜想：三面涂色的小正方体的个数与(顶点)有关,两面涂色的小正方体的个数与(棱)有关,一面涂色的小正方体的个数与(面)有关,没有涂色的小正方体的个数是一个数的(三次方(或立方))。
活动二 探究规律公式
分组计算5×5×5和6×6×6的正方体涂色后各类小正方体数量。
发现规律：
验证规律：
在5×5×5的正方体中,三面涂色的小正方体有8个,两面涂色的小正方体有36个,一面涂色的小正方体有54个,没有涂色的小正方体有27个;在6×6×6的正方体中,三面涂色的小正方体有8个,两面涂色的小正方体有48个,一面涂色的小正方体有96个,没有涂色的小正方体有64个。
发现规律:如果用n表示把大正方体的棱长平均分的份数,用a、b、c、d分别表示3面涂色、2面涂色、1面涂色和没有涂色的小正方体个数,则a=8,b=12(n-2),c=6(n-2)(n-2),d=(n-2)(n-2)(n-2)。
验证规律:在5×5×5的正方体中,三面涂色的小正方体有8个,两面涂色的小正方体有12×(5-2)=36(个),一面涂色的小正方体有6×(5-2)×(5-2)=54(个),没有涂色的小正方体有(5-2)×(5-2)×(5-2)=27(个)。
活动三 复原正方体
给出拆散的涂色正方体(如5×5×5),三面涂色的小正方体有8个,2面涂色的小正方体有36个,一面涂色的小正方体有多少个？没有涂色的小正方体有多少个？
一面涂色的小正方体有54个，没有涂色的小正方体有27个。
活动四 应用规律
用棱长为1厘米的小正方体拼成一个大正方体,在大正方体表面涂色后,从不同位置观察得到的图形。

(1)从前面看：①号小正方体有(3)面涂色,④号小正方体与(⑤)号小正方体一样,都是有(1)面涂色的。
(2)请在从上面看的平面图上标出一个与③号小正方体涂色面数一样的小正方体。
图略,答案不唯一。

答案： 活动一:8 12 6 1 8 24 24 8 顶点 棱 面 三次方(或立方)
活动二:在5×5×5的正方体中,三面涂色的小正方体有8个,两面涂色的小正方体有36个,一面涂色的小正方体有54个,没有涂色的小正方体有27个;在6×6×6的正方体中,三面涂色的小正方体有8个,两面涂色的小正方体有48个,一面涂色的小正方体有96个,没有涂色的小正方体有64个。
发现规律:如果用n表示把大正方体的棱长平均分的份数,用a、b、c、d分别表示3面涂色、2面涂色、1面涂色和没有涂色的小正方体个数,则a=8,b=12(n-2),c=6(n-2)(n-2),d=(n-2)(n-2)(n-2)。
验证规律:在5×5×5的正方体中,三面涂色的小正方体有8个,两面涂色的小正方体有12×(5-2)=36(个),一面涂色的小正方体有6×(5-2)×(5-2)=54(个),没有涂色的小正方体有(5-2)×(5-2)×(5-2)=27(个)。
[提示]根据把大正方体的棱长平均分成的份数找关系。
方法归纳
涂色小正方体的个数
如果用n表示把大正方体的棱长平均分的份数,那么3面涂色的小正方体有8个,2面涂色的小正方体有12(n-2)个,1面涂色的小正方体有6(n-2)²个,6面都不涂色的小正方体有(n-2)³个。
活动三:54个 27个
[提示]2面涂色的小正方体有36个,2面涂色的小正方体与正方体的棱的数量相关,36÷12=3(个),每条棱上有3个小正方体两面涂色,而顶点处的小正方体是三面涂色的,一条棱上有3+2=5(个)小正方体,一面涂色的小正方体有(3×3×6)个,没有涂色的小正方体有(3×3×3)个。
活动四:
(1)3 ⑤ 1
(2)图略,答案不唯一。
[提示]3面涂色的在顶点处,2面涂色的在棱的中间,1面涂色的在面的中间,不涂色的在正方体中间。