《2025年初中生暑假生活七年级综合全一册人教版》

10. 解下列不等式组,并将解集在数轴上表示出来.
(1) $ \left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 \leqslant 1, ① } \\ { \frac { 13 - x } { 3 } ＜ 4 x ; ② } \end{array} \right. $
(2) $ \left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 ＜ 3 ( x - 1 ), ① } \\ { 5 - \frac { 1 } { 2 } ( x + 4 ) \geqslant x. ② } \end{array} \right. $

答案：
解：
(1)解不等式①，得$x\leqslant 2$；解不等式②，得$x\gt 1$。
则不等式组的解集为$1\lt x\leqslant 2$。在数轴上表示如图。

(2)解不等式①，得$x\gt - 4$；解不等式②，得$x\leqslant 2$。
则不等式组的解集为$-4\lt x\leqslant 2$。在数轴上表示如图。
54321。12345

1. 关于 $ x $ 的不等式组 $ \left\{ \begin{array} { l } { x - m ＞ 0, } \\ { 2 x - 3 \geqslant 3 ( x - 2 ) } \end{array} \right. $ 恰有四个整数解,那么 $ m $ 的取值范围为( ).

A.$ m \geqslant - 1 $
B.$ m ＜ 0 $
C.$ - 1 \leqslant m ＜ 0 $
D.$ - 1 ＜ m ＜ 0 $

答案： 解：解不等式组$\left\{ \begin{array}{l} x - m ＞ 0 \\ 2x - 3 \geq 3(x - 2) \end{array} \right.$
解第一个不等式：$x - m ＞ 0$，得$x ＞ m$
解第二个不等式：$2x - 3 \geq 3x - 6$，移项得$2x - 3x \geq -6 + 3$，即$-x \geq -3$，两边同除以$-1$，得$x \leq 3$
所以不等式组的解集为$m ＜ x \leq 3$
因为不等式组恰有四个整数解，即$0,1,2,3$
所以$-1 \leq m ＜ 0$
答案：C

2. 某种型号汽车每行驶 $ 100 \mathrm { km } $ 耗油 $ 10 \mathrm { L } $,其油箱容量为 $ 40 \mathrm { L } $. 为了有效延长汽车使用寿命,厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的 $ \frac { 1 } { 8 } $,按此建议,一辆加满油的该型号汽车最多行驶的路程是______.

答案： 解：油箱容量为 $40\,\text{L}$，剩余油量不低于油箱容量的 $\frac{1}{8}$，则最低剩余油量为：
$40×\frac{1}{8} = 5\,\text{L}$
可用于行驶的油量为：
$40 - 5 = 35\,\text{L}$
每行驶 $100\,\text{km}$ 耗油 $10\,\text{L}$，即每升油可行驶：
$\frac{100}{10} = 10\,\text{km/L}$
最多行驶路程为：
$35×10 = 350\,\text{km}$
答：$350\,\text{km}$

3. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 4 ( x + 2 ) - 2 = 5 + 3 a $ 的解的值不小于关于 $ x $ 的方程 $ \frac { ( 3 a + 1 ) x } { 3 } = \frac { a ( 2 x + 3 ) } { 2 } $ 的解的值,试求 $ a $ 的取值范围.

答案： 解：解方程$4(x + 2) - 2 = 5 + 3a$，
得$x=\frac{3a - 1}{4}$。
解方程$\frac{(3a + 1)x}{3}=\frac{a(2x + 3)}{2}$，得$x=\frac{9a}{2}$。
依题意，得$\frac{3a - 1}{4}\geqslant \frac{9a}{2}$，解得$a\leqslant -\frac{1}{15}$，
故$a$的取值范围为$a\leqslant -\frac{1}{15}$。

4. 某化妆品店老板到厂家选购 A,B 两种品牌的化妆品,若销售 1 套 A 品牌的化妆品可获利 30 元,销售 1 套 B 品牌的化妆品可获利 20 元,根据市场需要,化妆品店老板决定,购进 B 品牌化妆品的数量比购进 A 品牌化妆品数量的 2 倍还多 4 套,且 B 品牌化妆品最多可购进 40 套,这样化妆品全部售出后,可使总获利不少于 1 200 元,有几种进货方案? 如何进货?

答案： 解：设购进 A 品牌$x$套，则购进 B 品牌$(2x + 4)$套，
根据题意，得$\begin{cases}2x + 4\leqslant 40,\\30x + 20(2x + 4)\geqslant 1200,\end{cases}$
解得$16\leqslant x\leqslant 18$。
故共有三种进货方案：
①购进 A 品牌 16 套，B 品牌 36 套；
②购进 A 品牌 17 套，B 品牌 38 套；
③购进 A 品牌 18 套，B 品牌 40 套。