《2025年初中生暑假生活七年级综合全一册人教版》

1. 若方程组$\left\{\begin{array}{l} 4x+3y= 1,\\ ax+(a-1)y= 3\end{array} \right. 的解x与y$相等,则$a$的值等于( )。

A.4
B.10
C.11
D.12

答案： 解：因为方程组的解$x$与$y$相等，所以设$x=y=k$。
将$x=y=k$代入$4x + 3y = 1$，得$4k + 3k = 1$，即$7k = 1$，解得$k=\frac{1}{7}$。
所以$x=y=\frac{1}{7}$。
将$x=y=\frac{1}{7}$代入$ax+(a - 1)y = 3$，得$a×\frac{1}{7}+(a - 1)×\frac{1}{7}=3$。
方程左边合并同类项：$\frac{a + a - 1}{7}=3$，即$\frac{2a - 1}{7}=3$。
两边同乘$7$：$2a - 1 = 21$。
移项得：$2a=22$，解得$a = 11$。
答案：C

2. 方程组$\left\{\begin{array}{l} x+y= 1,\\ x+z= 0,\\ y+z= -1\end{array} \right. $的解是( )。

A.$\left\{\begin{array}{l} x= -1,\\ y= 1,\\ z= 0\end{array} \right. $
B.$\left\{\begin{array}{l} x= 1,\\ y= 0,\\ z= -1\end{array} \right. $
C.$\left\{\begin{array}{l} x= 0,\\ y= 1,\\ z= -1\end{array} \right. $
D.$\left\{\begin{array}{l} x= -1,\\ y= 0,\\ z= 1\end{array} \right. $

答案： 解：$\left\{\begin{array}{l} x+y=1,①\\ x+z=0,②\\ y+z=-1,③\end{array}\right.$
①$-$②得：$y-z=1$,④
③$+$④得：$2y=0$,解得$y=0$.
把$y=0$代入①得：$x=1$.
把$x=1$代入②得：$z=-1$.
所以方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=0,\\ z=-1.\end{array}\right.$
答案：B

3. 明明在解方程组$\left\{\begin{array}{l} ax+by= 2,\\ cx-7y= 8\end{array} \right. $时,把$c看错而得到\left\{\begin{array}{l} x= -2,\\ y= 2,\end{array} \right. 而正确的解是\left\{\begin{array}{l} x= 3,\\ y= -2,\end{array} \right. 那么a$,$b$,$c$的值是( )。

A.不能确定
B.$a= 4$,$b= 5$,$c= -2$
C.$a$,$b$不能确定,$c= -2$
D.$a= 4$,$b= 7$,$c= 2$

答案： 解：将$\begin{cases} x=-2 \\ y=2 \end{cases}$代入$ax + by = 2$，得$-2a + 2b = 2$ ①
将$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$代入$ax + by = 2$，得$3a - 2b = 2$ ②
① + ②，得$a = 4$
将$a = 4$代入①，得$-8 + 2b = 2$，解得$b = 5$
将$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$代入$cx - 7y = 8$，得$3c - 7×(-2) = 8$，解得$c = -2$
综上，$a = 4$，$b = 5$，$c = -2$
答案：B

4. 《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里,朝去暮还来。某日,戴宗去距离180里的地方打探情报,去时顺风,用了2h；回来时逆风,用了6h,来回风速不变,则戴宗的速度为______里/h。(里,一种长度计量单位,1里$=500m$)

答案： 设戴宗的速度为$x$里/h，风速为$y$里/h。
去时顺风，速度为$(x + y)$里/h，根据路程 = 速度×时间，可得方程：$2(x + y)=180$，化简得$x + y=90$。
回来时逆风，速度为$(x - y)$里/h，同理可得方程：$6(x - y)=180$，化简得$x - y=30$。
联立方程组：$\begin{cases}x + y=90\\x - y=30\end{cases}$
将两式相加：$2x=120$，解得$x=60$。
答：戴宗的速度为60里/h。

5. 对于任意实数$a$,$b$,定义关于“@”的一种运算：$a@b= 2a+b$。例如：$3@4= 2×3+4= 10$。若$x@(-y)= 3$,$(2y)@x= 6$,则$x-y$的值为______。

答案： 解：根据题意，得
$\begin{cases}2x + (-y) = 3 \\2(2y) + x = 6\end{cases}$
化简，得
$\begin{cases}2x - y = 3 \quad (1) \\x + 4y = 6 \quad (2)\end{cases}$
由$(1)$得：$y = 2x - 3 \quad (3)$
将$(3)$代入$(2)$：$x + 4(2x - 3) = 6$
$x + 8x - 12 = 6$
$9x = 18$
$x = 2$
把$x = 2$代入$(3)$：$y = 2×2 - 3 = 1$
所以$x - y = 2 - 1 = 1$
1

6. 已知$\left\{\begin{array}{l} x-3y+2z= 0,\\ 3x-3y-4z= 0,\end{array} \right. 则x:y:z= $______。

答案： 解：
$\begin{cases}x - 3y + 2z = 0 & (1) \\3x - 3y - 4z = 0 & (2)\end{cases}$
$(2)-(1)$得：$2x - 6z = 0$，即$x = 3z$。
将$x = 3z$代入$(1)$：$3z - 3y + 2z = 0$，解得$y = \frac{5}{3}z$。
设$z = 3k$（$k \neq 0$），则$x = 9k$，$y = 5k$。
$\therefore x:y:z = 9k:5k:3k = 9:5:3$。
$9:5:3$

7. 解方程组：$\left\{\begin{array}{l} 2x+y+z= 1,\\ x-y+z= 2,\\ x+2y-3z= 8.\end{array} \right. $

答案： 解：$\left\{\begin{array}{l} 2x+y+z=1,①\\ x-y+z=2,②\\ x+2y-3z=8.③\end{array}\right.$
① - ②，得$x + 2y = -1$.④
②×3 + ③，得$4x - y = 14$.⑤
④ + ⑤×2，得$9x = 27$，解得$x = 3$.
把$x = 3$代入⑤，得$12 - y = 14$，解得$y = -2$.
把$x = 3$，$y = -2$代入②，得$3 - (-2) + z = 2$，解得$z = -3$.
所以方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x = 3,\\ y = -2,\\ z = -3.\end{array}\right.$

8. 已知关于$x$,$y的方程组\left\{\begin{array}{l} 3x+y= 1-3k,\\ x+3y= 4,\end{array} \right. 当x= -2$时,求$k$的值。

答案： 解：将$x = -2$代入方程组，得
$\begin{cases} 3×(-2) + y = 1 - 3k, \\ -2 + 3y = 4, \end{cases}$
整理，得
$\begin{cases} -6 + y = 1 - 3k, \\ -2 + 3y = 4, \end{cases}$
由第二个方程$-2 + 3y = 4$，解得$3y = 6$，$y = 2$。
将$y = 2$代入第一个方程$-6 + 2 = 1 - 3k$，得$-4 = 1 - 3k$，解得$3k = 5$，$k = \frac{5}{3}$。
即当$x = -2$时，$k = \frac{5}{3}$。