《2025年初中生暑假生活七年级综合全一册人教版》

9. 已知方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x+5y= -6,\\ ax-by= -4\end{array} \right. 和方程组\left\{\begin{array}{l} 3x-5y= 16,\\ bx+ay= -8\end{array} \right. $的解相同,求$(2a+b)^{2025}$的值。

答案： 解：由题意可得方程组$\begin{cases}2x + 5y = -6 \\ 3x - 5y = 16\end{cases}$，
解这个方程组：
将两个方程相加可得：$2x + 5y + 3x - 5y = -6 + 16$，
$5x = 10$，解得$x = 2$，
把$x = 2$代入$2x + 5y = -6$得：$2×2 + 5y = -6$，
$4 + 5y = -6$，$5y = -10$，解得$y = -2$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = -2\end{cases}$。
将$\begin{cases}x = 2 \\ y = -2\end{cases}$代入$ax - by = -4$和$bx + ay = -8$，
得$\begin{cases}2a - b×(-2) = -4 \\ 2b + a×(-2) = -8\end{cases}$，
即$\begin{cases}2a + 2b = -4 \\ -2a + 2b = -8\end{cases}$。
解这个方程组：
用第一个方程减去第二个方程：$(2a + 2b) - (-2a + 2b) = -4 - (-8)$，
$2a + 2b + 2a - 2b = 4$，$4a = 4$，解得$a = 1$，
把$a = 1$代入$2a + 2b = -4$得：$2×1 + 2b = -4$，
$2 + 2b = -4$，$2b = -6$，解得$b = -3$。
所以$a = 1$，$b = -3$，
则$(2a + b)^{2025} = (2×1 + (-3))^{2025} = (2 - 3)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。
答：$(2a + b)^{2025}$的值为$-1$。

1. 若$|m+n-5|+(2m+3n-5)^{2}= 0$,求$(m-n)^{2}$的值。

答案： 解：因为$|m + n - 5| + (2m + 3n - 5)^2 = 0$，所以$\begin{cases} m + n - 5 = 0 \\ 2m + 3n - 5 = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m = 10 \\ n = -5 \end{cases}$，所以$(m - n)^2 = (10 - (-5))^2 = 15^2 = 225$。

2. 某旅行社组织200人到大理和香格里拉旅游,到香格里拉旅游的人数比到大理旅游的人数的2倍少1,则到两地旅游的人数各是多少？

答案： 解：设到大理旅游的人数是$y$，到香格里拉旅游的人数是$x$。
根据题意，得$\begin{cases} x + y = 200 \\ x = 2y - 1 \end{cases}$
将$x = 2y - 1$代入$x + y = 200$，得$2y - 1 + y = 200$
解得$3y = 201$，$y = 67$
将$y = 67$代入$x = 2y - 1$，得$x = 2×67 - 1 = 133$
故到大理旅游的人数是$67$，到香格里拉旅游的人数是$133$。

3. 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机,已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为：甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元。
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你说明商场有哪几种进货方案。
(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元,销售一台乙种电视机可获利200元,销售一台丙种电视机可获利250元,在(1)满足的方案中,为使销售利润最多,应选择哪一种进货方案？

答案： （1）分三种情况计算：
①设购甲种电视机$x$台，乙种电视机$y$台，则
$\begin{cases} x + y = 50 \\ 1500x + 2100y = 90000 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x = 25 \\ y = 25 \end{cases}$
②设购甲种电视机$x$台，丙种电视机$z$台，则
$\begin{cases} x + z = 50 \\ 1500x + 2500z = 90000 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x = 35 \\ z = 15 \end{cases}$
③设购乙种电视机$y$台，丙种电视机$z$台，则
$\begin{cases} y + z = 50 \\ 2100y + 2500z = 90000 \end{cases}$
解得$\begin{cases} y = 87.5 \\ z = -37.5 \end{cases}$（不合题意，舍去）
故有两种进货方案：
①购甲种电视机25台，乙种电视机25台；
②购甲种电视机35台，丙种电视机15台。
（2）方案一：$25×150 + 25×200 = 8750$（元）
方案二：$35×150 + 15×250 = 9000$（元）
$9000＞8750$
故选择购进甲种电视机35台，丙种电视机15台的方案。

国王想为王子招聘一位才智非凡的算术教师。国王出题说：“你们将1000颗珍珠分装10个木盒里,每个盒中随意装多少都可以,只是有个要求——分装之后,我从1至999的数中,任意说出一个数,你们就能整盒整盒地端出与我说的数相等数量的珍珠,不得破盒临时拼凑。最先做出这个题者,就可被聘用。”应试者中一位十多岁的男孩分装好了,而且完全符合国王的要求。就这样,他被聘为王子的算术教师。你知道这位聪明的男孩是怎样分装的吗？

答案： 【解析】：
这是一道考察二进制（或更准确地说，是2的幂次）应用的问题。
题目要求将1000颗珍珠分装到10个木盒中，使得国王可以任意说出1至999之间的一个数，而男孩能够整盒整盒地端出与国王所说的数相等数量的珍珠。
为了解决这个问题，我们可以利用2的幂次特性，因为2的幂次可以组合出任何正整数。
具体地，我们可以将珍珠按照$2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^9$的数量分装到10个木盒中。
这样，任何1至999之间的数都可以表示为这些2的幂次的和，因此男孩可以整盒整盒地端出与国王所说的数相等数量的珍珠。
【答案】：
第一个木盒：$2^0 = 1$颗珍珠；
第二个木盒：$2^1 = 2$颗珍珠；
第三个木盒：$2^2 = 4$颗珍珠；
第四个木盒：$2^3 = 8$颗珍珠；
第五个木盒：$2^4 = 16$颗珍珠；
第六个木盒：$2^5 = 32$颗珍珠；
第七个木盒：$2^6 = 64$颗珍珠；
第八个木盒：$2^7 = 128$颗珍珠；
第九个木盒：$2^8 = 256$颗珍珠；
第十个木盒：$1000 - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256) = 489$颗珍珠（或者看作$2^9 = 512$颗，但只放489颗，以确保总数为1000颗）。
这样，国王无论说出1至999之间的哪个数，男孩都可以通过组合这些木盒中的珍珠来满足要求。