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5. 如图,OP是$∠AOC$的平分线,点B在OP上,$BD⊥OC$于D,$∠A= 45^{\circ }$.若$BD= 2$,则AB的长为 (
A.2
B.$2\sqrt {3}$
C.$2\sqrt {2}$
D.3
C
)A.2
B.$2\sqrt {3}$
C.$2\sqrt {2}$
D.3
答案：
【解析】：本题可先根据角平分线的性质求出$OB$到$OA$的距离，再通过构造直角三角形，利用勾股定理求出$AB$的长度。
过点$B$作$BE\perp OA$于点$E$。
因为$OP$是$\angle AOC$的平分线，$BD\perp OC$，$BE\perp OA$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$BE = BD = 2$。
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle A = 45^{\circ}$，则$\angle ABE = 180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}= 45^{\circ}$，所以$\triangle ABE$是等腰直角三角形，那么$AE = BE = 2$。
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），在$Rt\triangle ABE$中，$AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{2^{2} + 2^{2}}=\sqrt{4 + 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】：C
过点$B$作$BE\perp OA$于点$E$。
因为$OP$是$\angle AOC$的平分线，$BD\perp OC$，$BE\perp OA$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$BE = BD = 2$。
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle A = 45^{\circ}$，则$\angle ABE = 180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}= 45^{\circ}$，所以$\triangle ABE$是等腰直角三角形，那么$AE = BE = 2$。
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），在$Rt\triangle ABE$中，$AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{2^{2} + 2^{2}}=\sqrt{4 + 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】：C
6. 某风筝的骨架如图所示.为使风筝平衡,须使$∠AOP= ∠BOP$.已知$PC⊥OA,PD⊥OB$,那么PC和PD应满足
PC=PD
,才能保证OP为$∠AOB$的平分线.
答案：
解：PC=PD
证明：
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP=∠ODP=90°．
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∵OP=OP，PC=PD，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）．
∴∠AOP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线．
故PC和PD应满足PC=PD，才能保证OP为∠AOB的平分线．
证明：
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP=∠ODP=90°．
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∵OP=OP，PC=PD，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）．
∴∠AOP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线．
故PC和PD应满足PC=PD，才能保证OP为∠AOB的平分线．
7. 如图,在$△ABC$中,$AB= 4,AC= 3$,AD是$△ABC$的角平分线,则$△ABD与△ACD$的面积之比是
$4:3$
.
答案：
【解析】：本题可根据三角形面积公式，结合角平分线的性质来求解$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的面积之比。
步骤一：明确三角形面积公式
三角形的面积公式为$S = \frac{1}{2}ah$（其中$S$表示三角形面积，$a$表示三角形的底边长，$h$表示这条底边对应的高）。
步骤二：找出$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的底和高
已知$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点$D$到$AB$的距离与点$D$到$AC$的距离相等，设这个距离为$h$。
对于$\triangle ABD$，底为$AB$，高为$h$，则其面积$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB× h$；
对于$\triangle ACD$，底为$AC$，高为$h$，则其面积$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC× h$。
步骤三：计算$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的面积之比
将$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB× h$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC× h$代入$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}$可得：
$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB× h}{\frac{1}{2}AC× h}=\frac{AB}{AC}$
已知$AB = 4$，$AC = 3$，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$，即$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的面积之比是$4:3$。
【答案】：$4:3$
步骤一：明确三角形面积公式
三角形的面积公式为$S = \frac{1}{2}ah$（其中$S$表示三角形面积，$a$表示三角形的底边长，$h$表示这条底边对应的高）。
步骤二：找出$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的底和高
已知$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点$D$到$AB$的距离与点$D$到$AC$的距离相等，设这个距离为$h$。
对于$\triangle ABD$，底为$AB$，高为$h$，则其面积$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB× h$；
对于$\triangle ACD$，底为$AC$，高为$h$，则其面积$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC× h$。
步骤三：计算$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的面积之比
将$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB× h$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC× h$代入$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}$可得：
$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB× h}{\frac{1}{2}AC× h}=\frac{AB}{AC}$
已知$AB = 4$，$AC = 3$，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$，即$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的面积之比是$4:3$。
【答案】：$4:3$
8. 如图,在$△ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ }$,BD为AC边的中线,过点C作$CE// AB$与BD的延长线交于点E.求证:$∠A= ∠E.$
答案：
【解析】：本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质。
先根据直角三角形斜边上的中线性质得到$BD=AD=DC$，由等边对等角得到$\angle A=\angle ABD$，再根据平行线的性质得到$\angle ABD=\angle E$，通过等量代换即可证明$\angle A=\angle E$。
【答案】：证明：
∵$∠ABC=90^{\circ}$，BD为AC边的中线，
∴$BD=AD=DC$，
∴$\angle A=\angle ABD$，
∵$CE// AB$，
∴$\angle ABD=\angle E$，
∴$\angle A=\angle E$。
先根据直角三角形斜边上的中线性质得到$BD=AD=DC$，由等边对等角得到$\angle A=\angle ABD$，再根据平行线的性质得到$\angle ABD=\angle E$，通过等量代换即可证明$\angle A=\angle E$。
【答案】：证明：
∵$∠ABC=90^{\circ}$，BD为AC边的中线，
∴$BD=AD=DC$，
∴$\angle A=\angle ABD$，
∵$CE// AB$，
∴$\angle ABD=\angle E$，
∴$\angle A=\angle E$。
9. 如图,已知$PA⊥ON$于点A,$PB⊥OM$于点B,且$PA= PB,∠MON= 50^{\circ },∠OPC= 30^{\circ }$,求$∠PCA$的大小.
答案：
解：
∵PA⊥ON，PB⊥OM，PA=PB，
∴OP平分∠MON（角平分线的判定定理）．
∵∠MON=50°，
∴∠AOP=∠BOP=25°．
在Rt△OAP中，∠PAO=90°，
∴∠OPA=90°-∠AOP=90°-25°=65°．
∵∠OPC=30°，
∴∠APC=∠OPA-∠OPC=65°-30°=35°．
∵PA⊥ON，
∴∠PAC=90°，
∴∠PCA=90°-∠APC=90°-35°=55°．
答：∠PCA的大小为55°．
∵PA⊥ON，PB⊥OM，PA=PB，
∴OP平分∠MON（角平分线的判定定理）．
∵∠MON=50°，
∴∠AOP=∠BOP=25°．
在Rt△OAP中，∠PAO=90°，
∴∠OPA=90°-∠AOP=90°-25°=65°．
∵∠OPC=30°，
∴∠APC=∠OPA-∠OPC=65°-30°=35°．
∵PA⊥ON，
∴∠PAC=90°，
∴∠PCA=90°-∠APC=90°-35°=55°．
答：∠PCA的大小为55°．
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