《2025年天舟文化精彩暑假团结出版社八年级数学湘教版》

9.在平面直角坐标系xOy中,已知一次函数$y= kx+b的图象与正比例函数y= \frac{1}{3}x$的图象交于点A,与y轴交于点B(0,-4),若$\triangle AOB$的面积为6,求一次函数的表达式.

答案： 【解析】：
本题主要考察一次函数与正比例函数的交点问题，以及三角形面积的计算。
首先，根据题目条件，一次函数$y=kx+b$与$y$轴交于点$B(0,-4)$，因此可以直接得出$b=-4$。
接下来，需要找到一次函数与正比例函数$y=\frac{1}{3}x$的交点$A$。设交点$A$的坐标为$(x_A, y_A)$，由于$A$在正比例函数上，因此有$y_A=\frac{1}{3}x_A$。
又因为$A$也在一次函数上，所以有$y_A=kx_A-4$（因为已知$b=-4$）。
将两个关于$y_A$的表达式相等，得到：
$\frac{1}{3}x_A = kx_A - 4$，
解这个方程，可以得到$x_A$关于$k$的表达式，但目前还无法直接求出$k$的值。
接下来，利用三角形$AOB$的面积为6这一条件。三角形$AOB$的底是$OB$，长度为4（因为$B$的坐标是$(0,-4)$），高是$|x_A|$（$A$的横坐标的绝对值）。
根据三角形面积公式，有：
$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} × 4 × |x_A| = 6$，
解这个方程，得到$|x_A|=3$，即$x_A=3$或$x_A=-3$。
当$x_A=3$时，代入$y_A=\frac{1}{3}x_A$，得到$y_A=1$。再将$(3,1)$代入$y=kx-4$，解得$k=\frac{5}{3}$。
当$x_A=-3$时，代入$y_A=\frac{1}{3}x_A$，得到$y_A=-1$。再将$(-3,-1)$代入$y=kx-4$，解得$k=-1$。
因此，一次函数的表达式有两个可能：$y=\frac{5}{3}x-4$或$y=-x-4$。
【答案】：
一次函数的表达式为$y=\frac{5}{3}x-4$或$y=-x-4$。

1.一次函数$y= mx+n与y= mnx(mn≠0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (D)

答案： 【解析】：本题考查一次函数图像的性质。
$mn≠0$说明m，n均不为0。
对于选项A，一次函数交于y轴负半轴，说明$n＜0$，$m＜0$，$mn＞0$，
而$y= mnx$应该经过一三象限，
但图中$y= mnx$经过二四象限，
所以A不符合。
对于选项B，一次函数交于y轴正半轴，说明$n＞0$，$m＞0$，$mn＞0$，
$y= mnx$经过一三象限，
但图中$y= mnx$经过二四象限，
所以B不符合。
对于选项C，一次函数交于y轴负半轴，说明$n＜0$，$m＞0$，$mn＜0$，
$y= mnx$经过二四象限，
但图中$y= mnx$经过一三象限，
所以C不符合。
对于选项D，一次函数交于y轴负半轴，说明$n＜0$，$m＜0$，$mn＞0$，
$y= mnx$经过一三象限，
图中$y= mnx$也经过一三象限，
所以D符合。
【答案】：D

2.在平面直角坐标系中,若一点的纵横坐标都是整数,则称该点为整点.设k为整数,当直线$y= x-2与y= kx+k$的交点为整点时,k的值可以取 (A)
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个

答案： 解：联立两直线方程：
$\begin{cases}y = x - 2 \\y = kx + k\end{cases}$
得 $x - 2 = kx + k$，整理得 $(1 - k)x = k + 2$。
当 $k \neq 1$ 时，$x = \frac{k + 2}{1 - k} = -1 + \frac{3}{1 - k}$。
因为交点为整点，所以 $1 - k$ 是 3 的因数，3 的因数有 $\pm1, \pm3$。
则 $1 - k = 1$ 时，$k = 0$；$1 - k = -1$ 时，$k = 2$；$1 - k = 3$ 时，$k = -2$；$1 - k = -3$ 时，$k = 4$。
当 $k = 1$ 时，直线 $y = x - 2$ 与 $y = x + 1$ 平行，无交点，舍去。
综上，$k$ 的值为 $-2, 0, 2, 4$，共 4 个。
答案：A

3.蓄水池中装有一个进水管和一个出水管,单位时间内进、出水量都一定.先打开进水管10min后再两管同时打开12min,然后关闭进水管,直至把池中的水放完.池中的蓄水量y(L)随时间x(min)变化的图象如图所示,则池中的水放完的时间是 (C)

A.第24分
B.第26分
C.第28分
D.第30分

答案： 解：设进水管每分钟进水 $ a $ L，出水管每分钟出水 $ b $ L。
由图象知，前10分钟只开进水管，蓄水量从250L上升到750L，可得：
$ 10a = 750 - 250 $
$ 10a = 500 $
$ a = 50 $
10到22分钟（共12分钟）两管同时打开，蓄水量从750L下降到450L，可得：
$ 12(b - a) = 750 - 450 $
$ 12(b - 50) = 300 $
$ b - 50 = 25 $
$ b = 75 $
22分钟后关闭进水管，仅出水管放水，此时蓄水量450L，所需时间 $ t = \frac{450}{b} = \frac{450}{75} = 6 $ min。
总时间：22 + 6 = 28 min。
答案：C

4.在弹簧弹性限度内,弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比.某弹簧不挂物体时长15cm,当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长16.8cm,写出弹簧长度L(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数表达式:$L = 0.6x + 15$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一次函数的应用。题目描述了弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比的关系，这是一个典型的正比例关系问题。
设弹簧长度$L(cm)$与所挂物体的质量$x(kg)$之间的关系为一次函数：
$L = kx + b$
其中，k是比例系数，表示单位质量变化时弹簧长度的变化量；b是常数项，表示没有挂物体时弹簧的长度。
根据题目条件，当$x=0$时，$L=15$，即没有挂物体时弹簧的长度为15cm，所以$b=15$。
当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16.8cm。代入上述函数表达式，得到：
$16.8 = 3k + 15$
解这个方程，我们可以得到比例系数k的值：
$3k = 16.8 - 15 = 1.8$
$k = \frac{1.8}{3} = 0.6$
所以，弹簧长度L与所挂物体的质量x之间的函数表达式为：
$L = 0.6x + 15$
【答案】：
$L = 0.6x + 15$

5.某公司开发出一款节能产品,该产品的成本价为6元/件,该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售,售价为8元/件.工作人员对销售情况进行了跟踪记录,根据记录情况绘制的图象如图所示,图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系.已知线段DE表示的函数关系中,时间每增加1天,日销售量减少5件.
(1)第24天的日销售量是305件,日销售利润是610元.
(2)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.
$y=\begin{cases}20x(0\leqslant x\leqslant17)\\-5x + 425(17\lt x\leqslant30)\end{cases}$
(3)日销售利润不低于640元的天数共有5天?试销售期间,日销售最大利润是680元?

答案： $(1)$计算第$24$天的日销售量和日销售利润
- 已知线段$DE$表示的函数关系中，时间每增加$1$天，日销售量减少$5$件。
从图中可知$D(17,340)$，那么第$24$天与第$17$天相隔$24 - 17=7$天。
所以第$24$天的日销售量是$y = 340-5×(24 - 17)=340 - 35 = 305$件。
日销售利润$=$（售价$-$成本价）$×$日销售量，已知成本价为$6$元/件，售价为$8$元/件，则日销售利润为$(8 - 6)×305 = 610$元。
$(2)$求$y$与$x$之间的函数关系式
- **当$0\leqslant x\leqslant17$时：
设$y=kx$（$k\neq0$），把$(17,340)$代入$y = kx$得$340 = 17k$，解得$k = 20$，所以$y = 20x$。
- **当$17\lt x\leqslant30$时：
已知$D(17,340)$，时间每增加$1$天，日销售量减少$5$件，所以$y=340-5(x - 17)$。
化简$y=340-5(x - 17)=340-5x + 85=-5x+425$。
综上，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\begin{cases}20x(0\leqslant x\leqslant17)\\-5x + 425(17\lt x\leqslant30)\end{cases}$。
$(3)$计算日销售利润不低于$640$元的天数和日销售最大利润
- **计算日销售利润不低于$640$元的天数：
设日销售利润为$W$元，$W=(8 - 6)y$。
当$0\leqslant x\leqslant17$时，$W = 2×20x=40x$，由$40x\geqslant640$，解得$x\geqslant16$，所以$16\leqslant x\leqslant17$。
当$17\lt x\leqslant30$时，$W=2(-5x + 425)=-10x + 850$，由$-10x + 850\geqslant640$，
移项得$-10x\geqslant640 - 850$，即$-10x\geqslant - 210$，解得$x\leqslant21$，所以$17\lt x\leqslant21$。
则日销售利润不低于$640$元的天数为$(17 - 16)+(21 - 17)=1 + 4=5$天。
- **计算日销售最大利润：
当$0\leqslant x\leqslant17$时，$W = 40x$，$W$随$x$的增大而增大，所以当$x = 17$时，$W_{max}=40×17 = 680$元。
当$17\lt x\leqslant30$时，$W=-10x + 850$，$W$随$x$的增大而减小，所以当$x = 17$时，$W=-10×17 + 850=680$元。
所以试销售期间，日销售最大利润是$680$元。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{305}$，$\boldsymbol{610}$；$(2)$$y=\begin{cases}20x(0\leqslant x\leqslant17)\\-5x + 425(17\lt x\leqslant30)\end{cases}$；$(3)$日销售利润不低于$640$元的天数共有$\boldsymbol{5}$天，日销售最大利润是$\boldsymbol{680}$元。