《2025年天舟文化精彩暑假团结出版社八年级数学湘教版》

7.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,且∠B= ∠EAF= 60°,∠BAE= 18°.求∠CEF的度数.

答案： 【解析】：本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形内角和定理。
在菱形$ABCD$中，$AB=AD$，$\angle B=\angle D=60^\circ$，
由于有一个角是$60^\circ$的等腰三角形是等边三角形，
所以$\triangle ABC$和$\triangle ACD$都是等边三角形。
所以，$\angle BAC=\angle DAC = 60^\circ$，$AB=AC$，
又因为$\angle EAF=60^\circ$，
所以$\angle BAE=\angle CAF=18^\circ$，
根据三角形全等（ASA）判定定理：两角及其夹边对应相等的三角形全等。
$\left\{\begin{matrix}\angle B=\angle ACF,\\AB=AC,\\\angle BAE=\angle CAF.\end{matrix}\right.$
所以$\triangle ABE\cong\triangle ACF$。
所以$AE=AF$，
所以$\triangle AEF$为等边三角形。
所以$\angle AEF=60^\circ$，
又因为$\angle AEC=\angle B+\angle BAE=78^\circ$，
所以$\angle CEF=\angle AEC-\angle AEF=78^\circ-60^\circ=18^\circ$。
【答案】：$\angle CEF=18^\circ$。

8.如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF= DE,连接AF,CE.求证:AF//CE.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠ABF=∠CDE（等角的补角相等）。
∵BF=DE，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠F=∠E，
∴AF//CE。

示,在直线l上依次摆放着七个正方形.已知斜放的三个正方形的面积分别是
放的四个正方形的面积依次是$S_1,S_2,S_3,S_4,$求$S_1+S_2+S_3+S_4$的值.

答案： 【解析】：本题考查勾股定理的应用。
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
观察图形，可以发现：
$S_1$和$S_2$两个正方形在一条直线上，并且与斜放的第一个正方形构成一个直角三角形，其中$S_1$和$S_2$为直角边，斜放的第一个正方形为斜边。
同理，$S_3$和$S_4$两个正方形也在一条直线上，并且与斜放的第三个正方形构成一个直角三角形，其中$S_3$和$S_4$为直角边，斜放的第三个正方形为斜边。
根据勾股定理，可以得到：
$S_1 + S_2 = 1$（因为斜放的第一个正方形的面积是1），
$S_3 + S_4 = 3$（因为斜放的第三个正方形的面积是3），
所以$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 1 + 3 = 4+中间斜放的第二个正方形的面积-中间斜放的第二个正方形的面积=4$（因为加了一个面积又减了一个相同的面积，所以值不变）。
【答案】：$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 =4$。