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5.平行四边形的内角平分线能够围成的四边形是 (
A.梯形
B.矩形
C.正方形
D.不是平行四边形
B
)A.梯形
B.矩形
C.正方形
D.不是平行四边形
答案：
【解析】：
本题主要考查平行四边形的性质以及矩形判定。
首先，由平行四边形的性质，我们知道其相对的两个角是互补的，即$\angle A + \angle B = 180^\circ$。
设平行四边形的一个角为$\angle A$，其邻角为$\angle B$，那么有$\angle A + \angle B = 180^\circ$。
当我们将$\angle A$和$\angle B$都平分，得到两个角$\angle 1$和$\angle 2$，由于$\angle A + \angle B = 180^\circ$，那么$\angle 1 + \angle 2 = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 90^\circ$。
这意味着新形成的四边形在每个角都是$90^\circ$，即该四边形是一个矩形。
接下来，我们根据矩形的性质进行推理：
矩形的定义是四个内角均为直角的四边形。
在新形成的四边形中，由于每个角都是由平行四边形的两个内角的平分线相交形成的，且每个角都是$90^\circ$，因此这个四边形满足矩形的定义。
最后，我们根据选项进行判定：
A. 梯形：梯形只有一对平行的边，而新形成的四边形每个角都是直角，不可能是梯形。
B. 矩形：新形成的四边形每个角都是直角，符合矩形的定义。
C. 正方形：正方形是矩形的一个特例，其中所有的边都相等。题目没有给出足够的信息来证明新形成的四边形是正方形。
D. 不是平行四边形：新形成的四边形每个角都是直角，显然是平行四边形（实际上是矩形）。
【答案】：B. 矩形。
本题主要考查平行四边形的性质以及矩形判定。
首先，由平行四边形的性质，我们知道其相对的两个角是互补的，即$\angle A + \angle B = 180^\circ$。
设平行四边形的一个角为$\angle A$，其邻角为$\angle B$，那么有$\angle A + \angle B = 180^\circ$。
当我们将$\angle A$和$\angle B$都平分，得到两个角$\angle 1$和$\angle 2$，由于$\angle A + \angle B = 180^\circ$，那么$\angle 1 + \angle 2 = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 90^\circ$。
这意味着新形成的四边形在每个角都是$90^\circ$，即该四边形是一个矩形。
接下来，我们根据矩形的性质进行推理：
矩形的定义是四个内角均为直角的四边形。
在新形成的四边形中，由于每个角都是由平行四边形的两个内角的平分线相交形成的，且每个角都是$90^\circ$，因此这个四边形满足矩形的定义。
最后，我们根据选项进行判定：
A. 梯形：梯形只有一对平行的边，而新形成的四边形每个角都是直角，不可能是梯形。
B. 矩形：新形成的四边形每个角都是直角，符合矩形的定义。
C. 正方形：正方形是矩形的一个特例，其中所有的边都相等。题目没有给出足够的信息来证明新形成的四边形是正方形。
D. 不是平行四边形：新形成的四边形每个角都是直角，显然是平行四边形（实际上是矩形）。
【答案】：B. 矩形。
6.如图,MN//PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN和PQ上,点E在AB上,AD+BC= 7,AD= EB,DE= EC,则AB的长为
7
.
答案：
【解析】：本题考查全等三角形的判定和性质。
由于$MN// PQ$，$AB\perp PQ$，
我们可以得到$AD// BE$，$\angle DAE=\angle EBC=90^\circ$。
因为$AD=BE$，$DE=EC$，且$\angle DAE=\angle EBC$，
根据$HL$全等条件，我们可以得出$\triangle ADE\cong \triangle BEC$（$HL$）。
由全等三角形的性质，我们知道对应边相等，所以$AE=BC$。
根据题目给出的$AD+BC=7$，且$AD=BE$，
我们可以得出$AE+BE=7$，即$AB=AE+BE=7$。
【答案】：$AB=7$。
由于$MN// PQ$，$AB\perp PQ$，
我们可以得到$AD// BE$，$\angle DAE=\angle EBC=90^\circ$。
因为$AD=BE$，$DE=EC$，且$\angle DAE=\angle EBC$，
根据$HL$全等条件，我们可以得出$\triangle ADE\cong \triangle BEC$（$HL$）。
由全等三角形的性质，我们知道对应边相等，所以$AE=BC$。
根据题目给出的$AD+BC=7$，且$AD=BE$，
我们可以得出$AE+BE=7$，即$AB=AE+BE=7$。
【答案】：$AB=7$。
7.用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状,前3个正五边形的拼接情况如图.要完全拼成一个圆环还需要正五边形
2
个.
答案：
解：正五边形每个内角为$\frac{(5-2)×180^\circ}{5}=108^\circ$。
拼接时，每个拼接点处由两个正五边形的内角和一个圆心角组成，圆心角为$360^\circ - 2×108^\circ = 144^\circ$。
圆环一周圆心角总和为$360^\circ$，所需正五边形个数为$\frac{360^\circ}{144^\circ}=5$。
已拼接3个，还需$5 - 3 = 2$个。
2
拼接时，每个拼接点处由两个正五边形的内角和一个圆心角组成，圆心角为$360^\circ - 2×108^\circ = 144^\circ$。
圆环一周圆心角总和为$360^\circ$，所需正五边形个数为$\frac{360^\circ}{144^\circ}=5$。
已拼接3个，还需$5 - 3 = 2$个。
2
8.如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB= BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N.求证:PM= PN.
答案：
【解析】：本题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质。
首先，根据题目条件“$BD$为$\angle ABC$的平分线”和“$AB = BC$”，可以利用$SAS$（边角边）全等条件证明$\triangle ABD$与$\triangle CBD$全等。
由于$\triangle ABD \cong \triangle CBD$，根据全等三角形的对应角相等，得出$\angle ADB = \angle CDB$，即$BD$平分$\angle ADC$。
接着，根据角平分线的性质，即角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，由于点$P$在$BD$上，且$PM \perp AD$，$PN \perp CD$，可以得出$PM = PN$。
【答案】：证明：
∵$BD$为$\angle ABC$的平分线，
∴$\angle ABD=\angle CBD$，
在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中，
$\left\{\begin{matrix}AB=BC,\\\angle ABD=\angle CBD,\\BD=BD.\end{matrix}\right.$
∴$\triangle ABD\cong \triangle CBD(SAS)$，
∴$\angle ADB=\angle CDB$，
即$BD$平分$\angle ADC$，
∵$PM\perp AD$，$PN\perp CD$，
∴$PM=PN$。
首先，根据题目条件“$BD$为$\angle ABC$的平分线”和“$AB = BC$”，可以利用$SAS$（边角边）全等条件证明$\triangle ABD$与$\triangle CBD$全等。
由于$\triangle ABD \cong \triangle CBD$，根据全等三角形的对应角相等，得出$\angle ADB = \angle CDB$，即$BD$平分$\angle ADC$。
接着，根据角平分线的性质，即角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，由于点$P$在$BD$上，且$PM \perp AD$，$PN \perp CD$，可以得出$PM = PN$。
【答案】：证明：
∵$BD$为$\angle ABC$的平分线，
∴$\angle ABD=\angle CBD$，
在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中，
$\left\{\begin{matrix}AB=BC,\\\angle ABD=\angle CBD,\\BD=BD.\end{matrix}\right.$
∴$\triangle ABD\cong \triangle CBD(SAS)$，
∴$\angle ADB=\angle CDB$，
即$BD$平分$\angle ADC$，
∵$PM\perp AD$，$PN\perp CD$，
∴$PM=PN$。
9.如图,在矩形ABCD中,∠ADC的平分线DF交AC于点E,交BC于点F,∠BDF= 15°,求∠DOC和∠COF的度数.
答案：
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，OD=OC，AC=BD，OA=OC=OB=OD（矩形对角线相等且互相平分），
∴△ODC是等腰三角形。
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=∠ADC/2=45°。
∵∠BDF=15°，
∴∠ODC=∠CDF+∠BDF=45°+15°=60°。
∵OD=OC，∠ODC=60°，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DOC=60°，OC=CD。
在Rt△DCF中，∠CDF=45°，
∴∠CFD=45°，
∴CF=CD（等角对等边）。
∵OC=CD，CF=CD，
∴OC=CF，
∴△OCF是等腰三角形。
∵∠OCD=60°（等边三角形内角），∠BCD=90°（矩形内角），
∴∠OCF=∠BCD-∠OCD=90°-60°=30°。
∴∠COF=(180°-∠OCF)/2=(180°-30°)/2=75°。
综上，∠DOC=60°，∠COF=75°。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，OD=OC，AC=BD，OA=OC=OB=OD（矩形对角线相等且互相平分），
∴△ODC是等腰三角形。
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=∠ADC/2=45°。
∵∠BDF=15°，
∴∠ODC=∠CDF+∠BDF=45°+15°=60°。
∵OD=OC，∠ODC=60°，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DOC=60°，OC=CD。
在Rt△DCF中，∠CDF=45°，
∴∠CFD=45°，
∴CF=CD（等角对等边）。
∵OC=CD，CF=CD，
∴OC=CF，
∴△OCF是等腰三角形。
∵∠OCD=60°（等边三角形内角），∠BCD=90°（矩形内角），
∴∠OCF=∠BCD-∠OCD=90°-60°=30°。
∴∠COF=(180°-∠OCF)/2=(180°-30°)/2=75°。
综上，∠DOC=60°，∠COF=75°。
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