《2025年天舟文化精彩暑假团结出版社八年级数学湘教版》

3. 若$y= (n-2)x^{|n|-1}-4$是一次函数,则此函数的表达式为 (D)
A.$y= 4x$
B.$y= -4x+4$
C.$y= 4x-4$
D.$y= -4x-4$

答案： 【解析】：
题目要求确定$y= (n-2)x^{|n|-1}-4$为一次函数的条件。
一次函数的形式为$y=kx+b$，其中$k$为非零常数，$b$为常数，且$x$的指数为1。
因此，我们需要满足两个条件：
$n-2 \neq 0$，确保系数不为零。
$|n|-1 = 1$，确保$x$的指数为1。
解第二个条件$|n|-1 = 1$，得到$|n| = 2$，即$n = 2$或$n = -2$。
但由于$n-2 \neq 0$，所以$n \neq 2$，只能有$n = -2$。
将$n = -2$代入原函数，得到$y = (-2-2)x^{|-2|-1} - 4 = -4x - 4$。
【答案】：
D. $y = -4x - 4$。

4. 如图,函数$y= 2x和y= ax+4的图象相交于点A(m,3)$,则方程$2x= ax+4$的解为 (A)
A.$x= \frac{3}{2}$
B.$x= 3$
C.$x= -\frac{3}{2}$
D.$x= -3$

答案： 【解析】：
本题可根据函数图象交点坐标与对应方程解的关系来求解。
已知函数$y = 2x$和$y = ax + 4$的图象相交于点$A(m,3)$，这意味着点$A(m,3)$同时满足这两个函数表达式。
将点$A(m,3)$代入$y = 2x$中，可得$3 = 2m$，解得$m=\frac{3}{2}$，所以点$A$的坐标为$(\frac{3}{2},3)$。
因为函数$y = 2x$和$y = ax + 4$图象的交点坐标就是方程组$\begin{cases}y = 2x\\y = ax + 4\end{cases}$的解，而方程$2x = ax + 4$的解就是这两个函数图象交点的横坐标。
由点$A$的坐标为$(\frac{3}{2},3)$，可知交点的横坐标$m=\frac{3}{2}$，所以方程$2x = ax + 4$的解为$x = \frac{3}{2}$。
【答案】：A

5. 已知点$M(1,a)和点N(2,b)是一次函数y= -2x+1$的图象上的两点,则a与b的大小关系是 (A)
A.$a＞b$
B.$a= b$
C.$a＜b$
D.以上都不对

答案： 【解析】：
这个问题考察的是一次函数的性质，特别是函数的单调性。
对于一次函数$y=kx+b$，其中$k$是斜率。
当$k＞0$时，函数是增函数，即$y$随$x$的增大而增大；
当$k＜0$时，函数是减函数，即$y$随$x$的增大而减小。
在题目中，给定的一次函数是$y=-2x+1$，其中斜率$k=-2＜0$，所以这是一个减函数。
现在，有点$M(1,a)$和点$N(2,b)$在该函数图象上。
由于$1＜2$，并且函数是减函数，所以当$x=1$时的函数值（即$a$）必然大于当$x=2$时的函数值（即$b$）。
因此，$a＞b$。
【答案】：
A.$a＞b$。

6. 已知正比例函数$y= (1-2a)x$,如果y的值随x值的增大而减小,那么a的取值范围是$a＞\frac{1}{2}$.

答案： 【解析】：
本题考查正比例函数的性质。
对于正比例函数$y=kx$，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
由题意知，正比例函数为$y=(1-2a)x$，且$y$的值随$x$的增大而减小，
所以可以得到不等式：$1-2a＜0$，
解这个不等式，得到：$a＞\frac{1}{2}$。
【答案】：$a＞\frac{1}{2}$。

7. 按下图所示的程序计算函数值,若输入的x为$\frac{3}{2}$,则输出的结果为$\frac{1}{2}$.

答案： 【解析】：本题可先判断输入的$x = \frac{3}{2}$所在的取值范围，再根据对应的函数表达式计算输出的$y$值。
由图可知，该程序根据$x$的取值范围不同，对应不同的函数表达式：
当$-2\leqslant x\leqslant -1$时，$y = x + 2$；
当$-1\lt x\lt 1$时，$y = x^2$；
当$1\leqslant x\leqslant 2$时，$y = -x + 2$。
因为$1\leqslant\frac{3}{2}\leqslant 2$，所以将$x = \frac{3}{2}$代入$y = -x + 2$中进行计算。
【答案】：将$x = \frac{3}{2}$代入$y = -x + 2$可得：
$y=-\frac{3}{2}+2$
$=\frac{1}{2}$
故答案为$\frac{1}{2}$。

8. 已知函数$y= -(4m-1)x+1-3m$.
(1)当m为何值时,这个函数是一次函数?
(2)当m为何值时,这个函数是正比例函数?

答案： 【解析】：
本题主要考察一次函数和正比例函数的定义。
对于一次函数，其一般形式为$y=kx+b$，其中$k$和$b$为常数，且$k \neq 0$。
对于正比例函数，其一般形式为$y=kx$，其中$k$为常数，且$k \neq 0$。
(1) 为了使给定的函数$y= -(4m-1)x+1-3m$成为一次函数，需要满足条件$4m-1 \neq 0$。
解这个不等式，得到$m \neq \frac{1}{4}$。
(2) 为了使给定的函数成为正比例函数，需要满足两个条件：
斜率$4m-1$不能为0，即$4m-1 \neq 0$；
截距$1-3m$必须为0，即$1-3m = 0$。
解这两个方程和不等式，从$1-3m = 0$，解得$m = \frac{1}{3}$，且这个解满足$4m-1 \neq 0$。
【答案】：
(1) 当$m \neq \frac{1}{4}$时，这个函数是一次函数。
(2) 当$m = \frac{1}{3}$时，这个函数是正比例函数。

9. 若直线$y= kx+6$与两坐标轴所围成的三角形面积是24,则常数k的值是多少?

答案： 【解析】：
题目考查了一次函数图像与坐标轴的交点及三角形面积的计算。
首先，我们需要找到直线与坐标轴的交点，即解方程$y=kx+6$与$x=0$和$y=0$的交点。
然后，利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2} × \text{底} × \text{高}$，根据题目给出的面积是24，列出关于$k$的方程，并求解。
解方程的过程主要涉及到一次方程的解法和三角形面积公式的应用。
【答案】：
解：
首先，求直线与$y$轴的交点，令$x=0$，则$y=6$，所以交点为$(0,6)$。
接着，求直线与$x$轴的交点，令$y=0$，则$0=kx+6$，解得$x=-\frac{6}{k}$，所以交点为$\left(-\frac{6}{k},0\right)$。
由于直线与两坐标轴围成的三角形面积为24，根据三角形面积公式，有
$\frac{1}{2} × 6 × \left|-\frac{6}{k}\right| = 24$
化简得
$3 × \left|\frac{6}{k}\right| = 24$
$\left|\frac{6}{k}\right| = 8$
$\frac{6}{|k|} = 8$
$|k| = \frac{6}{8}$
$|k| = \frac{3}{4}$
解得$k = \pm \frac{3}{4}$。