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5.如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF翻折,使点C落在AD边的中点$C'$处,点B落在点$B'$处,其中$AB= 9,BC= 6$,则$FC'$的长为 (
A.$\frac {10}{3}$
B.4
C.4.5
D.5
D
)A.$\frac {10}{3}$
B.4
C.4.5
D.5
答案：
【解析】：本题主要考查矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理。
设$FC' = x$，由于折叠的性质可知$FC = FC' = x$，那么$FD = 9 - x$。
因为点$C'$是$AD$边的中点，$AD = BC = 6$，所以$C'D = 3$。
在$Rt\triangle FDC'$中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$FC'^{2}=FD^{2}+C'D^{2}$，即$x^{2}=(9 - x)^{2}+3^{2}$。
接下来求解上述方程：
$\begin{aligned}x^{2}&=(9 - x)^{2}+3^{2}\\x^{2}&=81 - 18x + x^{2}+9\\18x&=81 + 9\\18x&=90\\x&= 5\end{aligned}$
所以$FC'$的长为$5$。
【答案】：D。
设$FC' = x$，由于折叠的性质可知$FC = FC' = x$，那么$FD = 9 - x$。
因为点$C'$是$AD$边的中点，$AD = BC = 6$，所以$C'D = 3$。
在$Rt\triangle FDC'$中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$FC'^{2}=FD^{2}+C'D^{2}$，即$x^{2}=(9 - x)^{2}+3^{2}$。
接下来求解上述方程：
$\begin{aligned}x^{2}&=(9 - x)^{2}+3^{2}\\x^{2}&=81 - 18x + x^{2}+9\\18x&=81 + 9\\18x&=90\\x&= 5\end{aligned}$
所以$FC'$的长为$5$。
【答案】：D。
6.如图,在$Rt△ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ }$,D为AC的中点,若$∠C= 55^{\circ }$,则$∠ABD$的度数为
$35^{\circ}$
.
答案：
【解析】：本题可根据直角三角形的性质求出$\angle BAC$的度数，再结合中点的性质得到$BD$与$AC$的关系，进而求出$\angle ABD$的度数。
步骤一：求$\angle BAC$的度数
在$Rt\triangle ABC$中，已知$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle C = 55^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得：
$\angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC - \angle C=180^{\circ}-90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}$
步骤二：分析$BD$与$AC$的关系
因为$D$为$AC$的中点，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，所以在$Rt\triangle ABC$中，$BD$是斜边$AC$上的中线，则有$BD = \frac{1}{2}AC = AD = CD$。
步骤三：求$\angle ABD$的度数
由于$BD = AD$，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，所以$\angle ABD = \angle BAC = 35^{\circ}$。
【答案】：$35^{\circ}$
步骤一：求$\angle BAC$的度数
在$Rt\triangle ABC$中，已知$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle C = 55^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得：
$\angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC - \angle C=180^{\circ}-90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}$
步骤二：分析$BD$与$AC$的关系
因为$D$为$AC$的中点，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，所以在$Rt\triangle ABC$中，$BD$是斜边$AC$上的中线，则有$BD = \frac{1}{2}AC = AD = CD$。
步骤三：求$\angle ABD$的度数
由于$BD = AD$，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，所以$\angle ABD = \angle BAC = 35^{\circ}$。
【答案】：$35^{\circ}$
7.如图,$AB= AC$,点D,E分别在AC,AB上,$AG⊥BD$,垂足为点G,$AF⊥CE$,垂足为点F,且$AE= AD,EF= DG$.求证:$BG= CF$.
答案：
证明：
∵AG⊥BD，AF⊥CE，
∴∠AFE=∠AGD=90°。
在Rt△AFE和Rt△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AD,\\ EF=DG,\end{array}\right.$
∴Rt△AFE≌Rt△AGD（HL），
∴AF=AG。
∵AB=AC，AE=AD，
∴AB-AE=AC-AD，即BE=CD。
在Rt△AFB和Rt△AGC中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ AF=AG,\end{array}\right.$
∴Rt△AFB≌Rt△AGC（HL），
∴BF=CG。
∵BF=BE+EF，CG=CD+DG，且BE=CD，EF=DG，
∴BF=CG，
∴BF-EF=CG-DG，即BG=CF。
结论：BG=CF。
∵AG⊥BD，AF⊥CE，
∴∠AFE=∠AGD=90°。
在Rt△AFE和Rt△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AD,\\ EF=DG,\end{array}\right.$
∴Rt△AFE≌Rt△AGD（HL），
∴AF=AG。
∵AB=AC，AE=AD，
∴AB-AE=AC-AD，即BE=CD。
在Rt△AFB和Rt△AGC中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ AF=AG,\end{array}\right.$
∴Rt△AFB≌Rt△AGC（HL），
∴BF=CG。
∵BF=BE+EF，CG=CD+DG，且BE=CD，EF=DG，
∴BF=CG，
∴BF-EF=CG-DG，即BG=CF。
结论：BG=CF。
8.如图,AB,CD相交于点O,$AC// DB,AO= BO$,E,F分别是OC,OD的中点.求证:四边形AFBE是平行四边形.
答案：
【解析】：本题主要考查平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定以及平行线的性质。首先，根据平行线的性质，得到两对角相等，再加上一组对边相等（$AO = BO$），利用$AAS$（角角边）判定$\triangle AOC$和$\triangle BOD$全等，从而得到$AC = BD$，$OC = OD$。然后，利用中点的性质，得到$OE = OF$。最后，根据平行四边形的判定条件（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），证明四边形$AFBE$是平行四边形。
【答案】：
证明：
∵$AC// DB$，
∴$\angle C = \angle D$，$\angle CAO = \angle DBO$（两直线平行，内错角相等）。
在$\triangle AOC$和$\triangle BOD$中，
$\left\{\begin{matrix}\angle C = \angle D,\\\angle CAO = \angle DBO,\\AO = BO.\end{matrix}\right.$
∴$\triangle AOC\cong\triangle BOD$（$AAS$）。
∴$AC = BD$，$OC = OD$（全等三角形的对应边相等）。
∵$E$，$F$分别是$OC$，$OD$的中点，
∴$OE=\frac{1}{2}OC$，$OF=\frac{1}{2}OD$（中点的定义）。
∴$OE = OF$。
又
∵$AO = BO$，
∴四边形$AFBE$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
【答案】：
证明：
∵$AC// DB$，
∴$\angle C = \angle D$，$\angle CAO = \angle DBO$（两直线平行，内错角相等）。
在$\triangle AOC$和$\triangle BOD$中，
$\left\{\begin{matrix}\angle C = \angle D,\\\angle CAO = \angle DBO,\\AO = BO.\end{matrix}\right.$
∴$\triangle AOC\cong\triangle BOD$（$AAS$）。
∴$AC = BD$，$OC = OD$（全等三角形的对应边相等）。
∵$E$，$F$分别是$OC$，$OD$的中点，
∴$OE=\frac{1}{2}OC$，$OF=\frac{1}{2}OD$（中点的定义）。
∴$OE = OF$。
又
∵$AO = BO$，
∴四边形$AFBE$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
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