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1.如图,在$□ ABCD$中,$DB= DC,∠C= 70^{\circ },AE⊥BD$于E,则$∠DAE$等于 (
A.$35^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$25^{\circ }$
D.$20^{\circ }$
D
)A.$35^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$25^{\circ }$
D.$20^{\circ }$
答案：
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠ADC + ∠C = 180°，∠ADB = ∠DBC。
∵∠C = 70°，
∴∠ADC = 180° - 70° = 110°。
∵DB = DC，
∴∠DBC = ∠C = 70°，
∴∠ADB = ∠DBC = 70°。
∵AE⊥BD，
∴∠AED = 90°，
∴∠DAE = 90° - ∠ADB = 90° - 70° = 20°。
答案：D
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠ADC + ∠C = 180°，∠ADB = ∠DBC。
∵∠C = 70°，
∴∠ADC = 180° - 70° = 110°。
∵DB = DC，
∴∠DBC = ∠C = 70°，
∴∠ADB = ∠DBC = 70°。
∵AE⊥BD，
∴∠AED = 90°，
∴∠DAE = 90° - ∠ADB = 90° - 70° = 20°。
答案：D
2.如图,点E在正方形ABCD内,满足$∠AEB= 90^{\circ },AE= 6,BE= 8$,则阴影部分的面积是 (
A.48
B.60
C.76
D.80
C
)A.48
B.60
C.76
D.80
答案：
【解析】：本题主要考察勾股定理以及正方形面积的计算。
由题可知，$\bigtriangleup AEB$为直角三角形，根据勾股定理可求出$AB$的长度，又因为$ABCD$为正方形，即可求出正方形$ABCD$的面积，通过$S_{阴影}=S_{正方形ABCD}-S_{\bigtriangleup AEB}$可求出阴影部分的面积。
在直角三角形$AEB$中，根据勾股定理，有：
$AB^2 = AE^2 + BE^2$，
代入已知条件 $AE = 6, BE = 8$，得：
$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
所以，$AB = \sqrt{100} = 10$，
由于$ABCD$是正方形，所以其面积为：
$S_{正方形ABCD} = AB^2 = 10^2 = 100$，
直角三角形$AEB$的面积为：
$S_{\bigtriangleup AEB} = \frac{1}{2} × AE × BE = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$，
阴影部分的面积为：
$S_{阴影} = S_{正方形ABCD} - S_{\bigtriangleup AEB} = 100 - 24 = 76$。
【答案】：C
由题可知，$\bigtriangleup AEB$为直角三角形，根据勾股定理可求出$AB$的长度，又因为$ABCD$为正方形，即可求出正方形$ABCD$的面积，通过$S_{阴影}=S_{正方形ABCD}-S_{\bigtriangleup AEB}$可求出阴影部分的面积。
在直角三角形$AEB$中，根据勾股定理，有：
$AB^2 = AE^2 + BE^2$，
代入已知条件 $AE = 6, BE = 8$，得：
$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
所以，$AB = \sqrt{100} = 10$，
由于$ABCD$是正方形，所以其面积为：
$S_{正方形ABCD} = AB^2 = 10^2 = 100$，
直角三角形$AEB$的面积为：
$S_{\bigtriangleup AEB} = \frac{1}{2} × AE × BE = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$，
阴影部分的面积为：
$S_{阴影} = S_{正方形ABCD} - S_{\bigtriangleup AEB} = 100 - 24 = 76$。
【答案】：C
3.如图,在$△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },ED⊥AB$于点D,$BD= BC$.若$AC= 6cm$,则$AE+DE$等于 (
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
C
)A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
答案：
【解析】：本题可根据角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质来求解$AE + DE$的值。
步骤一：证明$\triangle BDE\cong\triangle BCE$
已知$ED\perp AB$，$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle BDE=\angle C = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle BCE$中，$BD = BC$（已知），$BE$为公共边。
根据“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”（$HL$定理），可得$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle BCE$。
步骤二：根据全等三角形的性质得到$DE = CE$
因为$\triangle BDE\cong\triangle BCE$，根据全等三角形的对应边相等，所以$DE = CE$。
步骤三：计算$AE + DE$的值
将$DE = CE$代入$AE + DE$中，可得$AE + DE = AE + CE$。
而$AE + CE = AC$，已知$AC = 6cm$，所以$AE + DE = 6cm$。
【答案】：C
步骤一：证明$\triangle BDE\cong\triangle BCE$
已知$ED\perp AB$，$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle BDE=\angle C = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle BCE$中，$BD = BC$（已知），$BE$为公共边。
根据“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”（$HL$定理），可得$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle BCE$。
步骤二：根据全等三角形的性质得到$DE = CE$
因为$\triangle BDE\cong\triangle BCE$，根据全等三角形的对应边相等，所以$DE = CE$。
步骤三：计算$AE + DE$的值
将$DE = CE$代入$AE + DE$中，可得$AE + DE = AE + CE$。
而$AE + CE = AC$，已知$AC = 6cm$，所以$AE + DE = 6cm$。
【答案】：C
4.在四边形ABCD中,$∠A+∠B+∠C+∠D= 360^{\circ },∠A= ∠C,∠B= ∠D,AB= 5$,则CD的长为 (
A.20
B.10
C.5
D.2.5
C
)A.20
B.10
C.5
D.2.5
答案：
【解析】：
本题主要考查四边形的内角和性质以及等腰四边形的性质。
根据四边形的内角和性质，有：
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$
由题意知，$\angle A = \angle C$ 且 $\angle B = \angle D$。
将这两个条件代入四边形的内角和公式中，得到：
$2\angle A + 2\angle B = 360^{\circ}$
$\Rightarrow \angle A + \angle B = 180^{\circ}$
由于$\angle A$ 和 $\angle B$ 互补，且$\angle A = \angle C$，$\angle B = \angle D$，可以推断出四边形ABCD的两组对角都是互补的，即AB与CD平行，且AD与BC平行（同旁内角互补，两直线平行）。但这并不直接说明ABCD是矩形或正方形，仅说明它是一个等腰四边形，且两组对边分别平行，即ABCD是一个平行四边形。
在平行四边形中，对边相等，即：
$AB = CD$
由题意知，$AB = 5$，所以：
$CD = 5$
【答案】：
C. $5$
本题主要考查四边形的内角和性质以及等腰四边形的性质。
根据四边形的内角和性质，有：
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$
由题意知，$\angle A = \angle C$ 且 $\angle B = \angle D$。
将这两个条件代入四边形的内角和公式中，得到：
$2\angle A + 2\angle B = 360^{\circ}$
$\Rightarrow \angle A + \angle B = 180^{\circ}$
由于$\angle A$ 和 $\angle B$ 互补，且$\angle A = \angle C$，$\angle B = \angle D$，可以推断出四边形ABCD的两组对角都是互补的，即AB与CD平行，且AD与BC平行（同旁内角互补，两直线平行）。但这并不直接说明ABCD是矩形或正方形，仅说明它是一个等腰四边形，且两组对边分别平行，即ABCD是一个平行四边形。
在平行四边形中，对边相等，即：
$AB = CD$
由题意知，$AB = 5$，所以：
$CD = 5$
【答案】：
C. $5$
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