《2025年天舟文化精彩暑假团结出版社八年级数学湘教版》

10. 如图所示,一次函数$y= -x+m$的图象和y轴交于点B,与正比例函数$y= \frac{3}{2}x的图象交于点P(2,n)$.
(1)求m和n的值.
(2)求$\triangle POB$的面积.

答案： 【解析】：
(1) 要求出m和n的值，由于点P(2,n)在正比例函数$y = \frac{3}{2}x$的图象上，可先通过代入求出n的值，再将点P的坐标代入一次函数$y = -x + m$求出m的值。
(2) 要求出$\triangle POB$的面积，需要知道点B的坐标，由于点B在一次函数$y = -x + m$的图象上且在y轴上，可令$x = 0$求出B点的坐标，进而得到OB的长度，再根据三角形面积公式求解。
【答案】：
(1) 因为点$P(2,n)$在正比例函数$y = \frac{3}{2}x$的图象上，所以将$x = 2$代入$y = \frac{3}{2}x$可得：
$n=\frac{3}{2}×2 = 3$
则点P的坐标为$(2,3)$。
又因为点$P(2,3)$在一次函数$y = -x + m$的图象上，将$x = 2$，$y = 3$代入$y = -x + m$可得：
$3=-2 + m$
解得$m = 5$。
所以，$m = 5$，$n = 3$。
(2) 由
(1)可知一次函数的解析式为$y = -x + 5$。
因为点B在一次函数$y = -x + 5$的图象上且在y轴上，令$x = 0$，可得$y = 5$，所以点B的坐标为$(0,5)$，则$OB = 5$。
点P的坐标为$(2,3)$，则P到y轴的距离（即$\triangle POB$中OB边上的高）为2。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
${S}_{\triangle POB}=\frac{1}{2}× OB× 2=\frac{1}{2}× 5× 2 = 5$
所以，$\triangle POB$的面积为5。

1. 小刚均匀地向一个容器注水,直到把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t变化的规律如图所示(图中OABC为折线),则这个容器的形状可能是 (A)

答案： 解：根据图像，OA段水面高度h随时间t增长较快，AB段增长变慢，BC段增长最快。由于注水速度均匀，容器横截面积越小，水面高度增长越快。因此容器形状应是下部分横截面积较小，中间横截面积变大，上部分横截面积最小。观察选项，符合此特征的是A。
答案：A

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC= BC$,有一动点P从点A出发,沿$A→C→B→A$匀速运动.则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是图中的 (C)

答案： 解：当点P从A向C运动时，CP长度s随时间t增大而减小，起点s=AC，终点s=0；
当点P从C向B运动时，CP长度s随时间t增大而增大，起点s=0，终点s=BC=AC；
当点P从B向A运动时，CP长度s先减小至最小值（C到AB的距离），再增大至AC，且最小值小于AC。
结合选项，符合上述变化的图象为C。
答案：C

3. 一次函数$y= (m-1)x+(m-2)$的图象上有点M(x_1,y_1)和点N(x_2,y_2),且$x_1＞x_2$.下列叙述正确的是 (B)
A.若该函数图象交y轴于正半轴,则$y_1＜y_2$
B.该函数图象必经过点$(-1,-1)$
C.无论m为何值,该函数图象一定过第四象限
D.该函数图象向上平移一个单位后,会与x轴正半轴有交点

答案： 【解析】：
本题考察一次函数的性质。
A. 若该函数图象交y轴于正半轴，则$m-2＞0$，即$m＞2$。
由于$x_1＞x_2$，且斜率$m-1$的正负性不确定（因为$m＞2$时，$m-1＞0$，函数递增；但如果$m＜1$，则$m-1＜0$，函数递减），所以不能确定$y_1$和$y_2$的大小关系。故A选项错误。
B. 将$x=-1$代入函数$y=(m-1)x+(m-2)$，得到$y=-(m-1)+(m-2)=-1$，所以该函数图象必经过点$(-1,-1)$。故B选项正确。
C. 当$m＞2$时，斜率$m-1＞0$，且y轴上的截距$m-2＞0$，此时函数图象不会进入第四象限。故C选项错误。
D. 函数图象向上平移一个单位后，新的函数为$y=(m-1)x+(m-1)$。
令$y=0$，解得$x=\frac{1-m}{m-1}=-1$（当$m \neq 1$时），即与x轴的交点为$(-1,0)$，不在正半轴上。
当$m=1$时，函数退化为常数函数$y=-1$，与x轴无交点。故D选项错误。
【答案】：
B

4. 小亮每天从家去学校行走的路程为900m.某天他从家去上学时以30m/min的速度行走了前半程,为了不迟到他加快了速度,以45m/min的速度行走完剩下的路程.那么小亮行走的路程y(m)与他行走的时间t(min)$(t＞15)$之间的函数关系正确的是 ( )

答案： 【解析】：
本题主要考查了分段函数的应用，需要根据不同时间段的速度来确定函数关系。
小亮每天从家去学校行走的总路程为900m。
他首先以30m/min的速度行走了前半程，即450m。
根据$\text{时间} = \frac{\text{路程}}{\text{速度}}$，
可得行走前半程所需的时间为$\frac{450}{30} = 15(min)$。
接着，他以45m/min的速度行走完剩下的450m。
同样根据$\text{时间} = \frac{\text{路程}}{\text{速度}}$，
可得行走后半程所需的时间为$\frac{450}{45} = 10(min)$。
因此，小亮行走的总时间为$15min + 10min = 25min$。
当$t ＞ 15$时，小亮已经走完了前半程，正在以45m/min的速度行走后半程。
设小亮行走的时间为$t$ min（$t ＞ 15$），则他行走后半程的时间为$(t - 15)$ min。
在这段时间里，他行走的路程为$45(t - 15)$ m。
因此，小亮行走的总路程$y$与他行走的时间$t$之间的函数关系为：
$y = 450 + 45(t - 15) = 45t - 225$（$15 ＜ t \leq 25$），
由于小亮行走的总时间不超过25min，所以函数的定义域为$15 ＜ t \leq 25$。
【答案】：
$y = 45t - 225$（$15 ＜ t \leq 25$）。