搜索
1. 如图,在平行四边形ABCD中,过对角线BD上一点P,作$EF// BC,HG// AB$.若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为$S_{1}和S_{2}$,则$S_{1}与S_{2}$的大小关系为 (
A.$S_{1}= S_{2}$
B.$S_{1}＞S_{2}$
C.$S_{1}＜S_{2}$
D.不能确定
A
)A.$S_{1}= S_{2}$
B.$S_{1}＞S_{2}$
C.$S_{1}＜S_{2}$
D.不能确定
答案：
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC。
∵EF//BC，HG//AB，
∴四边形AEPH、EBGP、HPFD、CFPG均为平行四边形。
∴AE=HP，EB=GP，PH=DF，PF=GC。
∵BD是平行四边形ABCD的对角线，
∴S△ABD=S△BCD。
∵S△ABD=S1+S平行四边形EBGP+S△HPD，
S△BCD=S2+S平行四边形EBGP+S△HPD，
∴S1=S2。
答案：A
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC。
∵EF//BC，HG//AB，
∴四边形AEPH、EBGP、HPFD、CFPG均为平行四边形。
∴AE=HP，EB=GP，PH=DF，PF=GC。
∵BD是平行四边形ABCD的对角线，
∴S△ABD=S△BCD。
∵S△ABD=S1+S平行四边形EBGP+S△HPD，
S△BCD=S2+S平行四边形EBGP+S△HPD，
∴S1=S2。
答案：A
2. 如图,在四边形ABCD中,E,F分别为DC,AB的中点,G是AC的中点,则EF与$AD+CB$的关系是 (
A.$2EF= AD+BC$
B.$2EF＞AD+BC$
C.$2EF＜AD+BC$
D.不确定
C
)A.$2EF= AD+BC$
B.$2EF＞AD+BC$
C.$2EF＜AD+BC$
D.不确定
答案：
解：
∵E，G分别为DC，AC的中点，
∴EG是△ADC的中位线，
∴EG = $\frac{1}{2}$AD，
同理，GF是△ABC的中位线，
∴GF = $\frac{1}{2}$BC，
在△EFG中，EG + GF ＞ EF，
即$\frac{1}{2}$AD + $\frac{1}{2}$BC ＞ EF，
∴AD + BC ＞ 2EF，
即2EF ＜ AD + BC.
C
∵E，G分别为DC，AC的中点，
∴EG是△ADC的中位线，
∴EG = $\frac{1}{2}$AD，
同理，GF是△ABC的中位线，
∴GF = $\frac{1}{2}$BC，
在△EFG中，EG + GF ＞ EF，
即$\frac{1}{2}$AD + $\frac{1}{2}$BC ＞ EF，
∴AD + BC ＞ 2EF，
即2EF ＜ AD + BC.
C
3. 在矩形纸片ABCD中,$AD= 8,AB= 6$,E是边BC上的点,将纸片沿AE折叠,使点B落在点F处,连接FC,当$\triangle EFC$为直角三角形时,BE的长为 (
A.3
B.5
C.3或5
D.3或6
D
)A.3
B.5
C.3或5
D.3或6
答案：
解：在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，∠B=∠C=∠D=90°，BC=AD=8，CD=AB=6。
设BE=x，则EC=BC-BE=8-x。
由折叠性质得：AF=AB=6，EF=BE=x，∠AFE=∠B=90°。
分两种情况讨论：
情况一：当∠EFC=90°时，
∵∠AFE=90°，∠EFC=90°，
∴点A、F、C三点共线。
在Rt△ABC中，AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10。
∵AF=6，
∴FC=AC-AF=10-6=4。
在Rt△EFC中，EF²+FC²=EC²，
即x²+4²=(8-x)²，
解得x=3。
情况二：当∠FEC=90°时，
∵∠AFE=90°，∠FEC=90°，
∴四边形ABEF为矩形，
又
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为正方形，
∴BE=AB=6，此时EC=8-6=2，
在Rt△EFC中，FC=√(EF²+EC²)=√(6²+2²)=√40=2√10，符合题意。
综上，BE的长为3或6。
答案：D
设BE=x，则EC=BC-BE=8-x。
由折叠性质得：AF=AB=6，EF=BE=x，∠AFE=∠B=90°。
分两种情况讨论：
情况一：当∠EFC=90°时，
∵∠AFE=90°，∠EFC=90°，
∴点A、F、C三点共线。
在Rt△ABC中，AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10。
∵AF=6，
∴FC=AC-AF=10-6=4。
在Rt△EFC中，EF²+FC²=EC²，
即x²+4²=(8-x)²，
解得x=3。
情况二：当∠FEC=90°时，
∵∠AFE=90°，∠FEC=90°，
∴四边形ABEF为矩形，
又
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为正方形，
∴BE=AB=6，此时EC=8-6=2，
在Rt△EFC中，FC=√(EF²+EC²)=√(6²+2²)=√40=2√10，符合题意。
综上，BE的长为3或6。
答案：D
4. 如图,AD是$\triangle ABC$的角平分线,$DE// AC$交AB于点E,$DF// AB$交AC于点F,且AD交EF于点O,则$∠AOF$的度数为 (
A.$60^{\circ }$
B.$90^{\circ }$
C.$100^{\circ }$
D.$110^{\circ }$
B
)A.$60^{\circ }$
B.$90^{\circ }$
C.$100^{\circ }$
D.$110^{\circ }$
答案：
【解析】：本题可根据角平分线的性质、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质来求解$\angle AOF$的度数。
步骤一：证明四边形$AEDF$是平行四边形
已知$DE// AC$，$DF// AB$，根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形$AEDF$是平行四边形。
步骤二：证明$AE = DE$
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle EAD = \angle FAD$。
又因为$DE// AC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle EDA = \angle FAD$。
所以$\angle EAD = \angle EDA$，根据等角对等边，可得$AE = DE$。
步骤三：证明平行四边形$AEDF$是菱形
由于四边形$AEDF$是平行四边形，且$AE = DE$，根据菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形$AEDF$是菱形。
步骤四：求$\angle AOF$的度数
因为菱形的对角线互相垂直且平分，$AD$是菱形$AEDF$的对角线，$EF$也是菱形$AEDF$的对角线，所以$AD\perp EF$，即$\angle AOF = 90^{\circ}$。
【答案】：B
步骤一：证明四边形$AEDF$是平行四边形
已知$DE// AC$，$DF// AB$，根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形$AEDF$是平行四边形。
步骤二：证明$AE = DE$
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle EAD = \angle FAD$。
又因为$DE// AC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle EDA = \angle FAD$。
所以$\angle EAD = \angle EDA$，根据等角对等边，可得$AE = DE$。
步骤三：证明平行四边形$AEDF$是菱形
由于四边形$AEDF$是平行四边形，且$AE = DE$，根据菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形$AEDF$是菱形。
步骤四：求$\angle AOF$的度数
因为菱形的对角线互相垂直且平分，$AD$是菱形$AEDF$的对角线，$EF$也是菱形$AEDF$的对角线，所以$AD\perp EF$，即$\angle AOF = 90^{\circ}$。
【答案】：B
5. 如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点$A',AB⊥a$于点B,$A'D⊥b$于点D.若$OB= 4,OD= 3$,则阴影部分的面积之和为
12
.
答案：
【解析】：
本题可先根据中心对称的性质得出阴影部分面积与矩形$BODA$面积的关系，再通过计算矩形$BODA$的面积来求解阴影部分的面积之和。
步骤一：分析曲线$C$的性质
已知曲线$C$关于点$O$成中心对称，点$A$的对称点是点$A'$，根据中心对称的性质可知，点$A$与点$A'$关于点$O$对称，那么点$A$、$O$、$A'$在同一条直线上，且$OA = OA'$。
同时，由于$AB⊥a$于点$B$，$A'D⊥b$于点$D$，直线$a$，$b$垂直相交于点$O$，所以四边形$BODA$是矩形。
步骤二：分析阴影部分面积与矩形$BODA$面积的关系
因为曲线$C$关于点$O$成中心对称，所以阴影部分的面积可以看作是由以$A$、$B$、$O$、$C$为顶点的部分和以$A'$、$D$、$O$、$C$为顶点的部分组成，而这两部分关于点$O$对称，它们的面积是相等的。
所以阴影部分的面积之和等于矩形$BODA$的面积。
步骤三：计算矩形$BODA$的面积
矩形的面积公式为$S = 长×宽$，在矩形$BODA$中，$OB$为长，$OD$为宽，已知$OB = 4$，$OD = 3$，将其代入公式可得：
$S_{矩形BODA}=OB× OD = 4×3 = 12$
即阴影部分的面积之和为$12$。
【答案】：
$12$
本题可先根据中心对称的性质得出阴影部分面积与矩形$BODA$面积的关系，再通过计算矩形$BODA$的面积来求解阴影部分的面积之和。
步骤一：分析曲线$C$的性质
已知曲线$C$关于点$O$成中心对称，点$A$的对称点是点$A'$，根据中心对称的性质可知，点$A$与点$A'$关于点$O$对称，那么点$A$、$O$、$A'$在同一条直线上，且$OA = OA'$。
同时，由于$AB⊥a$于点$B$，$A'D⊥b$于点$D$，直线$a$，$b$垂直相交于点$O$，所以四边形$BODA$是矩形。
步骤二：分析阴影部分面积与矩形$BODA$面积的关系
因为曲线$C$关于点$O$成中心对称，所以阴影部分的面积可以看作是由以$A$、$B$、$O$、$C$为顶点的部分和以$A'$、$D$、$O$、$C$为顶点的部分组成，而这两部分关于点$O$对称，它们的面积是相等的。
所以阴影部分的面积之和等于矩形$BODA$的面积。
步骤三：计算矩形$BODA$的面积
矩形的面积公式为$S = 长×宽$，在矩形$BODA$中，$OB$为长，$OD$为宽，已知$OB = 4$，$OD = 3$，将其代入公式可得：
$S_{矩形BODA}=OB× OD = 4×3 = 12$
即阴影部分的面积之和为$12$。
【答案】：
$12$
6. 如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是BM,CM的中点,当$AB:AD=$
$1:2$
时,四边形MENF是正方形.
答案：
【解析】：本题主要考查矩形的性质、正方形的判定以及三角形中位线定理。
首先，由于$ABCD$是矩形，所以$∠A=∠D=90^{\circ} $，且$AB=DC$（矩形的对边相等且四个角都是直角）。
又因为$M$是$AD$的中点，所以$AM=DM$。
根据三角形的全等判定——SAS（两边及夹角相等），可以得出$△ABM≌△DCM$。
由于$△ABM≌△DCM$，所以$BM=CM$（全等三角形的对应边相等）。
接下来，因为$E$、$F$分别是$BM$、$CM$的中点，所以$ME=\frac{1}{2}BM$，$MF=\frac{1}{2}CM$（三角形中位线的性质）。
由此可得$ME=MF$。
又因为$N$是$BC$的中点，且$BM=CM$，所以四边形$MENF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
要使四边形$MENF$成为正方形，需要满足$ME=MF$且$∠BMC=90^{\circ} $（正方形的定义：四边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形）。
由于$△ABM≌△DCM$，所以$∠AMB=∠DMC$。
又因为$∠AMB+∠DMC+∠BMC=180^{\circ} $，所以$∠BMC=180^{\circ} -2∠AMB$。
要使$∠BMC=90^{\circ} $，则$∠AMB=45^{\circ} $。
在$Rt△ABM$中，$∠AMB=45^{\circ} $，所以$AB:AM=1:1$（$45^{\circ} $角对应的直角三角形是等腰直角三角形）。
由于$M$是$AD$的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AD$。
因此，$AB:\frac{1}{2}AD=1:1$，即$AB:AD=1:2$。
【答案】：$1:2$
首先，由于$ABCD$是矩形，所以$∠A=∠D=90^{\circ} $，且$AB=DC$（矩形的对边相等且四个角都是直角）。
又因为$M$是$AD$的中点，所以$AM=DM$。
根据三角形的全等判定——SAS（两边及夹角相等），可以得出$△ABM≌△DCM$。
由于$△ABM≌△DCM$，所以$BM=CM$（全等三角形的对应边相等）。
接下来，因为$E$、$F$分别是$BM$、$CM$的中点，所以$ME=\frac{1}{2}BM$，$MF=\frac{1}{2}CM$（三角形中位线的性质）。
由此可得$ME=MF$。
又因为$N$是$BC$的中点，且$BM=CM$，所以四边形$MENF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
要使四边形$MENF$成为正方形，需要满足$ME=MF$且$∠BMC=90^{\circ} $（正方形的定义：四边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形）。
由于$△ABM≌△DCM$，所以$∠AMB=∠DMC$。
又因为$∠AMB+∠DMC+∠BMC=180^{\circ} $，所以$∠BMC=180^{\circ} -2∠AMB$。
要使$∠BMC=90^{\circ} $，则$∠AMB=45^{\circ} $。
在$Rt△ABM$中，$∠AMB=45^{\circ} $，所以$AB:AM=1:1$（$45^{\circ} $角对应的直角三角形是等腰直角三角形）。
由于$M$是$AD$的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AD$。
因此，$AB:\frac{1}{2}AD=1:1$，即$AB:AD=1:2$。
【答案】：$1:2$
查看更多完整答案，请扫码查看
