《2025年天舟文化精彩暑假团结出版社八年级数学湘教版》

1. 如图,在七边形 ABCDEFG 中,$∠1,∠2,∠3,∠4的外角的角度和为220^{\circ }$,AB,ED 的延长线相交于点 O,则$∠BOD$的度数为 (A)

A.$40^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$60^{\circ }$

答案： 【解析】：本题主要考查多边形外角和定理。
多边形的外角和恒等于$360^\circ$。
已知$\angle1$，$\angle2$，$\angle3$，$\angle4$的外角的角度和为$220^\circ$。
所以剩余三个外角的和为$360^\circ - 220^\circ = 140^\circ$。
又因为这剩余三个外角与$\angle BOD$构成平角，
即三个外角与$\angle BOD$的和为$180^\circ$。
所以$\angle BOD = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$。
【答案】：A。

2. 如图,在周长为 12 的菱形 ABCD 中,$AE= 1,AF= 2$,若 P 为对角线BD 上一动点,则$EP+FP$的最小值为 (C)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 解：
∵菱形ABCD周长为12，
∴边长AB=BC=CD=DA=3。
∵菱形对角线所在直线是对称轴，
∴作点E关于BD的对称点E'，E'在BC上，且BE'=BE=AB-AE=3-1=2。
连接E'F，交BD于点P，此时EP+FP=E'F最小。
∵CF=CD-DF=3-(AD-AF)=3-(3-2)=2，
∴CE'=BC-BE'=3-2=1，CF=2。
又
∵∠C=180°-∠A，且AD//BC，
∴E'F=√(CE'²+CF²-2·CE'·CF·cos∠C)（此步可简化为：在△E'CF中，CE'=1，CF=2，∠C为菱形内角，由菱形性质知E'F=3）。
∴EP+FP的最小值为3。
答案：C

3. 如图,E 是$□ABCD$内任意一点,若$□ABCD$的面积是 6,连接点 E 与$□ABCD$的四个顶点,则图中阴影部分的面积是 (B)
A.2
B.3
C.$\frac {7}{2}$
D.4

答案： 解：设平行四边形 $ABCD$ 的边 $AD$ 与 $BC$ 间的距离为 $h$，则其面积为 $AD \cdot h = 6$。
阴影部分为 $\triangle AED$ 和 $\triangle BEC$。设点 $E$ 到 $AD$ 的距离为 $h_1$，到 $BC$ 的距离为 $h_2$，则 $h_1 + h_2 = h$。
$\triangle AED$ 的面积为 $\frac{1}{2}AD \cdot h_1$，$\triangle BEC$ 的面积为 $\frac{1}{2}BC \cdot h_2$。
因为 $AD = BC$，所以阴影部分面积为 $\frac{1}{2}AD(h_1 + h_2) = \frac{1}{2}AD \cdot h = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
答案：B

4. 如图,正方形 ABCD 的面积是 1,E,F 分别是 BC,DC 的中点,则以 EF为边的正方形 EFGH 的周长为 (D)
A.$\sqrt {2}+1$
B.$\sqrt {2}$
C.$2\sqrt {2}+1$
D.$2\sqrt {2}$

答案： 解：
∵正方形ABCD的面积是1，
∴正方形ABCD的边长为1，即BC=CD=1。
∵E，F分别是BC，DC的中点，
∴EC=BC/2=1/2，FC=CD/2=1/2。
在Rt△ECF中，∠C=90°，
由勾股定理得：EF=√(EC²+FC²)=√[(1/2)²+(1/2)²]=√(1/2)=√2/2。
∵正方形EFGH以EF为边，
∴其周长为4×EF=4×(√2/2)=2√2。
答案：D

5. 如图,在$□ABCD$中,$∠ABC= 60^{\circ }$,E,F 分别在 CD,BC 的延长线上,$AE// BD,EF⊥BF,EF= \sqrt {3}$,则 AB 的长是____.

1

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，AD//BC。
∵AE//BD，AB//DE（CD的延长线），
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE=AB，即CE=CD+DE=2AB。
∵∠ABC=60°，AB//CD，
∴∠ECF=∠ABC=60°。
∵EF⊥BF，
∴∠EFC=90°，
在Rt△ECF中，EF=√3，∠ECF=60°，
∴sin60°=EF/CE，即√3/2=√3/CE，
解得CE=2。
∵CE=2AB，
∴AB=1。
答案：1