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5.如图,已知$AB// CD,AD= AB= BC,DC= 2AB$,则$∠DBC$的度数为____.
$30^\circ$
答案：
【解析】：本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，利用等腰三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质解决问题是解题的关键。
由题可知$AB// CD$，$AB=AD=BC$，$DC=2AB$，
可设想取$DC$的中点$E$，连接$BE$、$BD$，
从而可得出四边形$ABED$为平行四边形和$△BEC$为等腰三角形，
进而可得出$BE=AB=EC$，
所以$△BEC$为等边三角形，
从而得到$\angle C=60^\circ$，
又因为$AD=AB=BC$，
可得出$\angle ADB=\angle ABD$，$\angle C=\angle CDB=\angle CBD=60^\circ$，
再利用三角形的内角和是$180^\circ$，
即可求出$\angle DBC$的度数。
解：取$DC$的中点$E$，连接$BE$、$BD$，
$\because AB// CD$，$AB=AD=BC$，$DC=2AB$，
$\therefore AB=DE=EC$，$AB// DE$，
$\because$一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
$\therefore$四边形$ABED$为平行四边形，
$\therefore AD=BE$，$AD// BE$，
$\because AD=BC$，
$\therefore BE=BC$，
$\because EC=BE=BC$，
$\therefore \triangle BEC$为等边三角形，
$\therefore \angle C=60^\circ$，
$\because AD=AB$，
$\therefore \angle ADB=\angle ABD$，
$\because BC=AD$，
$\therefore BC=BD$，
$\therefore \angle C=\angle CDB=\angle CBD=60^\circ$，
$\because \angle C+\angle CDB+\angle CBD=180^\circ$，
$\therefore \angle DBC=180^\circ-\angle C-\angle CDB=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ$，
$\because \angle ABC=180^\circ-\angle C=180^\circ-60^\circ=120^\circ$，
$\therefore \angle DBA=\angle ABC-\angle DBC=120^\circ-60^\circ=60^\circ-\angle ADB$，
$\because \angle DBA+\angle ADB+\angle BAD=180^\circ$，
$\therefore \angle BAD=180^\circ-\angle DBA-\angle ADB=180^\circ-60^\circ=30^\circ$，
$\therefore \angle DBC=30^\circ$。
【答案】：$30^\circ$。
由题可知$AB// CD$，$AB=AD=BC$，$DC=2AB$，
可设想取$DC$的中点$E$，连接$BE$、$BD$，
从而可得出四边形$ABED$为平行四边形和$△BEC$为等腰三角形，
进而可得出$BE=AB=EC$，
所以$△BEC$为等边三角形，
从而得到$\angle C=60^\circ$，
又因为$AD=AB=BC$，
可得出$\angle ADB=\angle ABD$，$\angle C=\angle CDB=\angle CBD=60^\circ$，
再利用三角形的内角和是$180^\circ$，
即可求出$\angle DBC$的度数。
解：取$DC$的中点$E$，连接$BE$、$BD$，
$\because AB// CD$，$AB=AD=BC$，$DC=2AB$，
$\therefore AB=DE=EC$，$AB// DE$，
$\because$一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
$\therefore$四边形$ABED$为平行四边形，
$\therefore AD=BE$，$AD// BE$，
$\because AD=BC$，
$\therefore BE=BC$，
$\because EC=BE=BC$，
$\therefore \triangle BEC$为等边三角形，
$\therefore \angle C=60^\circ$，
$\because AD=AB$，
$\therefore \angle ADB=\angle ABD$，
$\because BC=AD$，
$\therefore BC=BD$，
$\therefore \angle C=\angle CDB=\angle CBD=60^\circ$，
$\because \angle C+\angle CDB+\angle CBD=180^\circ$，
$\therefore \angle DBC=180^\circ-\angle C-\angle CDB=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ$，
$\because \angle ABC=180^\circ-\angle C=180^\circ-60^\circ=120^\circ$，
$\therefore \angle DBA=\angle ABC-\angle DBC=120^\circ-60^\circ=60^\circ-\angle ADB$，
$\because \angle DBA+\angle ADB+\angle BAD=180^\circ$，
$\therefore \angle BAD=180^\circ-\angle DBA-\angle ADB=180^\circ-60^\circ=30^\circ$，
$\therefore \angle DBC=30^\circ$。
【答案】：$30^\circ$。
6.将矩形纸片ABCD按如图所示方式折叠,恰好得到菱形AECF.若$AB= 3$,则菱形AECF的周长为____.
8
答案：
解：设菱形AECF的边长为$x$。
因为四边形AECF是菱形，所以$AE = CE = x$。
由于矩形纸片ABCD折叠后得到菱形AECF，所以$BE = AB - AE = 3 - x$，且$\angle B = 90^\circ$。
在$Rt\triangle BCE$中，$BC^2 + BE^2 = CE^2$。
又因为菱形对角线互相垂直平分，设$AC$与$EF$交于点$O$，则$AO = OC$，$EO = OF$，且$AC \perp EF$。
由折叠性质知$AD = BC$，$AD = AF$，而$AF = AE = x$，在矩形中$AD = BC$，设$BC = y$，则$y^2 + (3 - x)^2 = x^2$。
又因为$AC$是矩形对角线，$AC = 2AO$，在$Rt\triangle ABC$中，$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 9 + y^2$。
在菱形中，$AO = \frac{AC}{2}$，$EO = \frac{EF}{2}$，且$AO^2 + EO^2 = AE^2$，但$EO = BE = 3 - x$（折叠对应关系），所以$(\frac{AC}{2})^2 + (3 - x)^2 = x^2$。
而$AC^2 = 9 + y^2$，且$y^2 = x^2 - (3 - x)^2$，代入可得$AC^2 = 9 + x^2 - (3 - x)^2 = 6x$，则$(\frac{\sqrt{6x}}{2})^2 + (3 - x)^2 = x^2$，化简得$\frac{6x}{4} + 9 - 6x + x^2 = x^2$，即$\frac{3x}{2} + 9 - 6x = 0$，解得$x = 2$。
菱形周长为$4x = 4×2 = 8$。
答案：8
因为四边形AECF是菱形，所以$AE = CE = x$。
由于矩形纸片ABCD折叠后得到菱形AECF，所以$BE = AB - AE = 3 - x$，且$\angle B = 90^\circ$。
在$Rt\triangle BCE$中，$BC^2 + BE^2 = CE^2$。
又因为菱形对角线互相垂直平分，设$AC$与$EF$交于点$O$，则$AO = OC$，$EO = OF$，且$AC \perp EF$。
由折叠性质知$AD = BC$，$AD = AF$，而$AF = AE = x$，在矩形中$AD = BC$，设$BC = y$，则$y^2 + (3 - x)^2 = x^2$。
又因为$AC$是矩形对角线，$AC = 2AO$，在$Rt\triangle ABC$中，$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 9 + y^2$。
在菱形中，$AO = \frac{AC}{2}$，$EO = \frac{EF}{2}$，且$AO^2 + EO^2 = AE^2$，但$EO = BE = 3 - x$（折叠对应关系），所以$(\frac{AC}{2})^2 + (3 - x)^2 = x^2$。
而$AC^2 = 9 + y^2$，且$y^2 = x^2 - (3 - x)^2$，代入可得$AC^2 = 9 + x^2 - (3 - x)^2 = 6x$，则$(\frac{\sqrt{6x}}{2})^2 + (3 - x)^2 = x^2$，化简得$\frac{6x}{4} + 9 - 6x + x^2 = x^2$，即$\frac{3x}{2} + 9 - 6x = 0$，解得$x = 2$。
菱形周长为$4x = 4×2 = 8$。
答案：8
7.如图,将$□ ABCD$的边AB延长至点E,使$BE= AB$,连接DE,EC,BD,DE交BC于点O.
(1)求证:$△ABD\cong △BEC$.
(2)若$∠BOD= 2∠A$,求证:四边形BECD是矩形.
(1)求证:$△ABD\cong △BEC$.
(2)若$∠BOD= 2∠A$,求证:四边形BECD是矩形.
答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AB//CD，∠A=∠BCD，
∵BE=AB，
∴BE=CD，
∵AB//CD，
∴BE//CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD=EC，
在△ABD和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=BE\\ AD=BC\\ BD=EC\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
(2)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD，AD//BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OBC+∠ODC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴OD=OE，OC=OB，BE//CD，
∴∠OBC=∠BCD=∠A，
∴∠ODC=∠BOD-∠OBC=2∠A-∠A=∠A，
∴∠ODC=∠BCD，
∴OC=OD，
∴2OC=2OD，即BC=DE，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形。
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AB//CD，∠A=∠BCD，
∵BE=AB，
∴BE=CD，
∵AB//CD，
∴BE//CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD=EC，
在△ABD和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=BE\\ AD=BC\\ BD=EC\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
(2)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD，AD//BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OBC+∠ODC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴OD=OE，OC=OB，BE//CD，
∴∠OBC=∠BCD=∠A，
∴∠ODC=∠BOD-∠OBC=2∠A-∠A=∠A，
∴∠ODC=∠BCD，
∴OC=OD，
∴2OC=2OD，即BC=DE，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形。
某数学兴趣小组在进行探究活动时提出了如下问题:如图1,在$△ABC$中,若$AB= 5,AC= 3$,那么BC边上的中线AD的取值在什么范围内呢?
解决方法:延长AD到E,使得$DE= AD$,再连接BE,可得$BE= AC$.把AB,AC,2AD集中在$△ABE$中,利用三角形的三边关系可得$2＜AE＜8$,则$1＜AD＜4$.
迁移应用:请参考上述解题方法,证明下列命题.
如图2,在$△ABC$中,D是BC边上的中点,$DE⊥DF$,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:$BE+CF＞EF$.
(2)若$∠A= 90^{\circ }$,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
解决方法:延长AD到E,使得$DE= AD$,再连接BE,可得$BE= AC$.把AB,AC,2AD集中在$△ABE$中,利用三角形的三边关系可得$2＜AE＜8$,则$1＜AD＜4$.
迁移应用:请参考上述解题方法,证明下列命题.
如图2,在$△ABC$中,D是BC边上的中点,$DE⊥DF$,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:$BE+CF＞EF$.
(2)若$∠A= 90^{\circ }$,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
答案：
【解析】：
(1) 本题可通过延长$FD$至点$G$，使$DG = DF$，连接$BG$、$EG$，利用三角形全等将$BE$、$CF$、$EF$转化到同一个三角形中，再根据三角形三边关系来证明$BE + CF＞EF$。
(2) 当$\angle A = 90^{\circ}$时，可通过证明三角形全等得到对应边相等，再结合勾股定理来探索线段$BE$、$CF$、$EF$之间的等量关系。
【答案】：
(1) 证明：
延长$FD$至点$G$，使$DG = DF$，连接$BG$、$EG$。
因为$D$是$BC$边上的中点，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDG$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDG = \angle CDF\\DG = DF\end{cases}$
所以$\triangle BDG\cong\triangle CDF(SAS)$，则$BG = CF$。
因为$DE\perp DF$，$DG = DF$，所以$EG = EF$。
在$\triangle BEG$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$BE + BG＞EG$。
又因为$BG = CF$，$EG = EF$，所以$BE + CF＞EF$。
(2) 若$\angle A = 90^{\circ}$，则$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$。
证明：
由
(1)可知$\triangle BDG\cong\triangle CDF$，所以$\angle DBG = \angle C$，$BG = CF$。
因为$\angle A = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC + \angle C = 90^{\circ}$，则$\angle ABC + \angle DBG = 90^{\circ}$，即$\angle EBG = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle EBG$中，根据勾股定理可得$BE^{2}+BG^{2}=EG^{2}$。
又因为$BG = CF$，$EG = EF$，所以$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$。
(1) 本题可通过延长$FD$至点$G$，使$DG = DF$，连接$BG$、$EG$，利用三角形全等将$BE$、$CF$、$EF$转化到同一个三角形中，再根据三角形三边关系来证明$BE + CF＞EF$。
(2) 当$\angle A = 90^{\circ}$时，可通过证明三角形全等得到对应边相等，再结合勾股定理来探索线段$BE$、$CF$、$EF$之间的等量关系。
【答案】：
(1) 证明：
延长$FD$至点$G$，使$DG = DF$，连接$BG$、$EG$。
因为$D$是$BC$边上的中点，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDG$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDG = \angle CDF\\DG = DF\end{cases}$
所以$\triangle BDG\cong\triangle CDF(SAS)$，则$BG = CF$。
因为$DE\perp DF$，$DG = DF$，所以$EG = EF$。
在$\triangle BEG$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$BE + BG＞EG$。
又因为$BG = CF$，$EG = EF$，所以$BE + CF＞EF$。
(2) 若$\angle A = 90^{\circ}$，则$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$。
证明：
由
(1)可知$\triangle BDG\cong\triangle CDF$，所以$\angle DBG = \angle C$，$BG = CF$。
因为$\angle A = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC + \angle C = 90^{\circ}$，则$\angle ABC + \angle DBG = 90^{\circ}$，即$\angle EBG = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle EBG$中，根据勾股定理可得$BE^{2}+BG^{2}=EG^{2}$。
又因为$BG = CF$，$EG = EF$，所以$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$。
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