《2025年天舟文化精彩暑假团结出版社八年级数学湘教版》

6. 如图,在四边形 ABCD 中,$AB// DC,AD= BC= $$5,DC= 7,AB= 13$,点 P 从点 A 出发以 3 个单位长度/s 的速度沿$AD→DC$向终点 C 运动,同时点 Q 从点 B 出发,以 1 个单位长度/s 的速度沿 BA 向终点 A 运动. 当四边形 PQBC 为平行四边形时,运动时间为____.

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答案： 解：设运动时间为 $ t $ 秒。
点 $ P $ 从 $ A $ 出发沿 $ AD→DC $ 运动，速度为 3 单位/s，$ AD = 5 $，则：
当 $ 0 \leq t \leq \frac{5}{3} $ 时，$ P $ 在 $ AD $ 上，$ PD = 5 - 3t $，此时 $ PC $ 不与 $ BQ $ 平行，四边形 $ PQBC $ 不可能为平行四边形。
当 $ t ＞ \frac{5}{3} $ 时，$ P $ 在 $ DC $ 上，$ PC = DC - (3t - AD) = 7 - (3t - 5) = 12 - 3t $。
点 $ Q $ 从 $ B $ 出发沿 $ BA $ 向 $ A $ 运动，速度为 1 单位/s，$ BQ = t $。
因为 $ AB // DC $，要使四边形 $ PQBC $ 为平行四边形，需 $ PC = BQ $，即：
$ 12 - 3t = t $
解得 $ t = 3 $。
此时 $ t = 3 ＞ \frac{5}{3} $，符合 $ P $ 在 $ DC $ 上的条件。
答：3。

7. 如图,E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的点,连接 AE,CE.
(1)求证:$AE= CE.$
(2)若将$△ABE$沿 AB 翻折后得到$△ABF$,当点 E 在 BD 的何处时,四边形 AFBE 是正方形? 请证明你的结论.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CB\\ ∠ABE=∠CBE\\ BE=BE\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE；
(2)当点E是BD的中点时，四边形AFBE是正方形，
证明：
∵四边形ABCD是正方形，E是BD的中点，
∴AE⊥BD，AE=BE，
∵将△ABE沿AB翻折后得到△ABF，
∴AF=AE，BF=BE，∠FAB=∠EAB=45°，∠FBA=∠EBA=45°，
∴AF=BF=BE=AE，∠F=∠AEB=90°，
∴四边形AFBE是菱形，
∵∠F=90°，
∴四边形AFBE是正方形。

探索规律并解决问题.
(1)如图 1,试探究$∠1,∠2与∠3,∠4$之间的数量关系.
(2)请你用文字描述上述的关系.
(3)用你发现的结论解决下列问题.
如图 2,AE,DE 分别是四边形 ABCD 的外角$∠NAD,∠MDA$的平分线,$∠B+$$∠C= 240^{\circ }$,求$∠E$的度数.

答案：
(1)解：连接图1中两个外角的顶点，形成两个三角形。在上方三角形中，∠1=∠5+∠6；在下方四边形中，∠3+∠4+∠5+∠6=360°，则∠5+∠6=360°-∠3-∠4，所以∠1+∠2=∠5+∠6+180°=360°-∠3-∠4+180°=540°-∠3-∠4，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°。
(2)解：四边形的两个外角与另外两个内角的和为540°。
(3)解：在四边形ABCD中，∠B+∠C=240°，由
(2)结论知∠NAD+∠MDA+∠B+∠C=540°，则∠NAD+∠MDA=540°-240°=300°。因为AE、DE是角平分线，所以∠EAD=∠NAD/2，∠EDA=∠MDA/2，∠EAD+∠EDA=300°/2=150°，在△ADE中，∠E=180°-150°=30°。
(1)∠1+∠2+∠3+∠4=540°；
(2)四边形的两个外角与另外两个内角的和为540°；
(3)30°