《2025年天舟文化精彩暑假团结出版社八年级数学湘教版》

1.三角形的三边长度如下:
①$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{5}$;②$3^2$,$4^2$,$5^2$;③9x,40x,41x(x＞0);④$(m+n)^2-1$,2(m+n),$(m+n)^2+1$(m+n＞1).
其中能构成直角三角形的有 (B)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 【解析】：
本题主要考察勾股定理的逆定理，即如果三角形三边满足$a^2 + b^2 = c^2$，则这个三角形是直角三角形。
对于①：计算较小两边的平方和与最长边的平方：
$(\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{25} = \frac{41}{400}$
$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} = \frac{44}{400} - \frac{3}{400} \ne \frac{41}{400}$
因为$\frac{41}{400} \ne \frac{44}{400} - \frac{3}{400}$，所以①不能构成直角三角形。
对于②：计算较小两边的平方和与最长边的平方：
$3^4 + 4^4 = 81 + 256 = 337$
$5^4 = 625$
因为$337 \ne 625$，所以②不能构成直角三角形。
实际上，这里应该是考虑$3^2, 4^2, 5^2$作为边长，但即使这样，$9+16=25$，但边长是$9,16,25$，显然不能构成三角形，更不用说直角三角形了。原题中的$3^2, 4^2, 5^2$应理解为边长的平方，而非边长本身。
对于③：计算较小两边的平方和与最长边的平方：
$(9x)^2 + (40x)^2 = 81x^2 + 1600x^2 = 1681x^2$
$(41x)^2 = 1681x^2$
因为两者相等，所以③能构成直角三角形。
对于④：计算较小两边的平方和与最长边的平方：
$[2(m+n)]^2 + [(m+n)^2 - 1]^2 = 4(m+n)^2 + (m+n)^4 - 2(m+n)^2 + 1 = (m+n)^4 + 2(m+n)^2 + 1$
$[(m+n)^2 + 1]^2 = (m+n)^4 + 2(m+n)^2 + 1$
因为两者相等，所以④能构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的有2个。
【答案】：B.2个。

2.如图所示,若AB//CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于E,且PE= 3cm,则AB与CD之间的距离为 (B)


A.3cm
B.6cm
C.9cm
D.无法确定

答案： 【解析】：本题可根据角平分线的性质以及平行线的性质，通过作辅助线来求解$AB$与$CD$之间的距离。
步骤一：过点$P$作$PF\perp AB$于$F$，作$PG\perp CD$于$G$。
因为$AP$平分$\angle BAC$，$PE\perp AC$，$PF\perp AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$PF = PE$。
同理，因为$CP$平分$\angle ACD$，$PE\perp AC$，$PG\perp CD$，所以$PG = PE$。
步骤二：求出$PF$和$PG$的长度。
已知$PE = 3cm$，由$PF = PE$，$PG = PE$，可得$PF = PG = 3cm$。
步骤三：分析$AB$与$CD$之间的距离。
因为$AB// CD$，$PF\perp AB$，$PG\perp CD$，所以$AB$与$CD$之间的距离就等于$PF + PG$。
将$PF = 3cm$，$PG = 3cm$代入$PF + PG$，可得$3 + 3 = 6cm$。
【答案】：B

3.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,OE⊥BC,垂足为E,AB= $\sqrt{5}$,AC= 4,BD= 6,则OE的长为 (D)
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{2\sqrt{105}}{21}$
D.$\frac{4\sqrt{105}}{21}$

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=4，BD=6，
∴OA=OC=2，OB=OD=3，AB=CD=√5，AD=BC。
在△AOB中，OA=2，OB=3，AB=√5，
∵OA²+AB²=2²+(√5)²=4+5=9=OB²，
∴△AOB是直角三角形，∠OAB=90°。
平行四边形ABCD的面积=AB·AC=√5×4=4√5。
∵OE⊥BC，
∴S▱ABCD=BC·OE=4√5。
在Rt△ABC中，AB=√5，AC=4，
∴BC=√(AB²+AC²)=√[(√5)²+4²]=√(5+16)=√21。
∴OE=4√5/BC=4√5/√21=4√105/21。
答案：D

4.在▱ABCD中,AE平分∠BAD,且分边BC为3和4两部分,则▱ABCD的周长为20或22.

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
情况一：当BE=3，EC=4时，
AB=BE=3，BC=BE+EC=3+4=7，
▱ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(3+7)=20；
情况二：当BE=4，EC=3时，
AB=BE=4，BC=BE+EC=4+3=7，
▱ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(4+7)=22；
综上，▱ABCD的周长为20或22。

5.点O是△ABC内一点,且到三边的距离相等.若∠A= 50°,则∠BOC的度数为115°.

答案： 【解析】：
本题主要考察的是角平分线的性质以及三角形内角和定理。
由于点$O$到$\bigtriangleup ABC$三边的距离相等，根据角平分线的性质（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），我们可以知道点$O$是$\angle ABC$和$\angle ACB$的角平分线的交点。
接下来，我们需要求出$\angle BOC$的度数。
由于$\angle A = 50^\circ$，根据三角形内角和定理（三角形的内角和等于$180^\circ$），我们可以求出$\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$。
由于$O$是$\angle ABC$和$\angle ACB$的角平分线的交点，所以$\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$，$\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB$。
因此，$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - \frac{1}{2} × 130^\circ = 115^\circ$。
【答案】：
$115^\circ$

6.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F.若BF= 12,AB= 10,则AE的长为16.

答案： 【解析】：本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和勾股定理的运用。
由于$AE$是$\angle BAD$的平分线，
因此有$\angle BAE = \angle DAE$。
又因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$AD // BC$，
根据两直线平行，内错角相等，
所以$\angle DAE = \angle AEB$，
由于$\angle BAE = \angle AEB$，
根据等腰三角形的性质，我们得出$AB = BE$。
同理，由于$BF$是$\angle ABC$的平分线，
我们有$\angle ABF = \angle CBF$。
又因为$AD // BC$，
所以$\angle AFB = \angle CBF$，
由于$\angle ABF = \angle AFB$，
我们得出$AB = AF$，即$AF = BE$。
所以四边形$ABEF$是平行四边形。
由于$AB = BE$，
所以四边形$ABEF$是菱形。
因此，$AE \perp BF$，且$AO = \frac{1}{2}AE$，$BO = \frac{1}{2}BF = 6$。
在直角三角形$AOB$中，根据勾股定理，我们有：
$AO = \sqrt{AB^{2} - BO^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$，
所以，$AE = 2AO = 16$。
【答案】：16。