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4. 如图,已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合,另两个顶点$A,B的坐标分别为(-1,0),(0,\sqrt{3})$.现将该三角板向右平移,使点$A与点O$重合,得到$\triangle OCB'$,则点$B的对应点B'$的坐标是 (
A.$(1,0)$
B.$(\sqrt{3},\sqrt{3})$
C.$(1,\sqrt{3})$
D.$(-1,\sqrt{3})$
C
)A.$(1,0)$
B.$(\sqrt{3},\sqrt{3})$
C.$(1,\sqrt{3})$
D.$(-1,\sqrt{3})$
答案：
【解析】：本题可根据点在平面直角坐标系中平移的规律来求解点$B$的对应点$B'$的坐标。
在平面直角坐标系中，点的平移规律是：左右平移时，纵坐标不变，向右移动几个单位横坐标就加上几，向左移动几个单位横坐标就减去几；上下平移时，横坐标不变，向上移动几个单位纵坐标就加上几，向下移动几个单位纵坐标就减去几。
已知点$A$的坐标为$(-1,0)$，将三角板向右平移使点$A$与点$O$重合，点$A$的横坐标从$-1$变为$0$，说明点$A$向右平移了$0 - (-1)=1$个单位。
因为三角板是整体平移，所以点$B$也向右平移了$1$个单位。
点$B$的坐标为$(0,\sqrt{3})$，根据上述平移规律，纵坐标不变，横坐标加上$1$，即$0 + 1 = 1$，所以点$B$的对应点$B'$的坐标是$(1,\sqrt{3})$。
【答案】：C。
在平面直角坐标系中，点的平移规律是：左右平移时，纵坐标不变，向右移动几个单位横坐标就加上几，向左移动几个单位横坐标就减去几；上下平移时，横坐标不变，向上移动几个单位纵坐标就加上几，向下移动几个单位纵坐标就减去几。
已知点$A$的坐标为$(-1,0)$，将三角板向右平移使点$A$与点$O$重合，点$A$的横坐标从$-1$变为$0$，说明点$A$向右平移了$0 - (-1)=1$个单位。
因为三角板是整体平移，所以点$B$也向右平移了$1$个单位。
点$B$的坐标为$(0,\sqrt{3})$，根据上述平移规律，纵坐标不变，横坐标加上$1$，即$0 + 1 = 1$，所以点$B$的对应点$B'$的坐标是$(1,\sqrt{3})$。
【答案】：C。
5. 如图,在平面直角坐标系中,四边形$ABCD的顶点A,B,C,D的坐标分别是(0,0),(5,0),(7,4),(2,4)$,则这个四边形的面积是 (
A.6
B.8
C.20
D.12
C
)A.6
B.8
C.20
D.12
答案：
【解析】：
由题意，点$A$、$B$的坐标分别为$A(0,0)$，$B(5,0)$，所以$AB = 5 - 0 = 5$。
点$C$、$D$的坐标分别为$C(7,4)$，$D(2,4)$，所以$CD$的长度为$7 - 2 = 5$，且$CD$到$x$轴的距离（即$y$坐标的差）为$4$。
因为$AB$和$CD$平行且长度相等（都等于$5$），且它们到$x$轴的距离都为$4$，所以四边形$ABCD$是一个平行四边形。
平行四边形的高就是$CD$（或$AB$）到$x$轴的距离，即$4$。
根据平行四边形的面积公式：面积 = 底 × 高，所以四边形$ABCD$的面积为：$5 × 4 = 20$。
【答案】：C
由题意，点$A$、$B$的坐标分别为$A(0,0)$，$B(5,0)$，所以$AB = 5 - 0 = 5$。
点$C$、$D$的坐标分别为$C(7,4)$，$D(2,4)$，所以$CD$的长度为$7 - 2 = 5$，且$CD$到$x$轴的距离（即$y$坐标的差）为$4$。
因为$AB$和$CD$平行且长度相等（都等于$5$），且它们到$x$轴的距离都为$4$，所以四边形$ABCD$是一个平行四边形。
平行四边形的高就是$CD$（或$AB$）到$x$轴的距离，即$4$。
根据平行四边形的面积公式：面积 = 底 × 高，所以四边形$ABCD$的面积为：$5 × 4 = 20$。
【答案】：C
6. 如图,小鱼的鱼身$ABCD$为菱形.已知鱼身长$BD= 8,AB= 5$,以$BD所在直线为x$轴,以$AC所在直线为y$轴,建立平面直角坐标系,则点$C$的坐标为
$(0, - 3)$
.
答案：
【解析】：
本题题干可知鱼身$ABCD$为菱形，这就说明$AC$和$BD$互相垂直且平分，我们可以先求出$AC$长度的一半，即$AO$的长度，再求出$CO$的长度，最后就可以得出点$C$的坐标。
因为四边形$ABCD$是菱形，$BD$在$x$轴上，$AC$在$y$轴上，$BD = 8$，所以$BO=\frac{1}{2}BD = 4$。
在$Rt\bigtriangleup ABO$中，$AB = 5$，$BO = 4$，根据勾股定理$a^2 +b^2 =c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得：
$AO=\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3$。
因为菱形的对角线互相平分，$AC$与$BD$互相垂直平分，$AO = 3$，所以$CO = AO = 3$。
又因为点$C$在$y$轴负半轴上，所以点$C$的坐标为$(0, - 3)$。
【答案】：$(0, - 3)$。
本题题干可知鱼身$ABCD$为菱形，这就说明$AC$和$BD$互相垂直且平分，我们可以先求出$AC$长度的一半，即$AO$的长度，再求出$CO$的长度，最后就可以得出点$C$的坐标。
因为四边形$ABCD$是菱形，$BD$在$x$轴上，$AC$在$y$轴上，$BD = 8$，所以$BO=\frac{1}{2}BD = 4$。
在$Rt\bigtriangleup ABO$中，$AB = 5$，$BO = 4$，根据勾股定理$a^2 +b^2 =c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得：
$AO=\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3$。
因为菱形的对角线互相平分，$AC$与$BD$互相垂直平分，$AO = 3$，所以$CO = AO = 3$。
又因为点$C$在$y$轴负半轴上，所以点$C$的坐标为$(0, - 3)$。
【答案】：$(0, - 3)$。
7. 如图,在平面直角坐标系中,$A,B,C三点的坐标分别为(4,0),(3,4),(0,2)$,则四边形$ABCO$的面积为______.
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答案：
解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵B(3,4)，
∴D(3,0)，BD=4，
∵A(4,0)，O(0,0)，C(0,2)，
∴OA=4，OD=3，AD=OA-OD=1，OC=2，
S四边形ABCO=S梯形OCDB+S△ABD，
S梯形OCDB=$\frac{1}{2}$×(OC+BD)×OD=$\frac{1}{2}$×(2+4)×3=9，
S△ABD=$\frac{1}{2}$×AD×BD=$\frac{1}{2}$×1×4=2，
∴S四边形ABCO=9+2=11.
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∵B(3,4)，
∴D(3,0)，BD=4，
∵A(4,0)，O(0,0)，C(0,2)，
∴OA=4，OD=3，AD=OA-OD=1，OC=2，
S四边形ABCO=S梯形OCDB+S△ABD，
S梯形OCDB=$\frac{1}{2}$×(OC+BD)×OD=$\frac{1}{2}$×(2+4)×3=9，
S△ABD=$\frac{1}{2}$×AD×BD=$\frac{1}{2}$×1×4=2，
∴S四边形ABCO=9+2=11.
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8. 已知点$M的坐标可表示为(3a-8,a-1)$,请分别根据下列条件求出点$M$的坐标.
(1)点$M在y$轴上.
(2)点$N的坐标为(3,-6)$,直线$MN// x$轴.
(1)点$M在y$轴上.
(2)点$N的坐标为(3,-6)$,直线$MN// x$轴.
答案：
【解析】：
本题主要考察平面直角坐标系中，点的坐标与所在位置的关系，以及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征。
(1) 对于点$M$在$y$轴上的情况，需要利用$y$轴上点的横坐标都为$0$的性质。因此，将$3a-8=0$，解这个方程得到$a$的值，再代入$a-1$求出$y$坐标。
(2) 对于直线$MN$平行于$x$轴的情况，需要利用平行于$x$轴的直线上的点的纵坐标都相等的性质。因此，将$a-1=-6$，解这个方程得到$a$的值，再代入$3a-8$求出$x$坐标。
【答案】：
(1) 解：
由于点$M$在$y$轴上，根据$y$轴上点的横坐标为$0$的性质，有：
$3a - 8 = 0$
解得：
$a = \frac{8}{3}$
将$a=\frac{8}{3}$代入$a-1$得：
$a - 1 = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}$
因此，点$M$的坐标为$(0, \frac{5}{3})$。
(2) 解：
由于直线$MN$平行于$x$轴，根据平行于$x$轴的直线上的点的纵坐标相等的性质，有：
$a - 1 = -6$
解得：
$a = -5$
将$a=-5$代入$3a-8$得：
$3a - 8 = 3 × (-5) - 8 = -15 - 8 = -23$
因此，点$M$的坐标为$(-23, -6)$。
本题主要考察平面直角坐标系中，点的坐标与所在位置的关系，以及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征。
(1) 对于点$M$在$y$轴上的情况，需要利用$y$轴上点的横坐标都为$0$的性质。因此，将$3a-8=0$，解这个方程得到$a$的值，再代入$a-1$求出$y$坐标。
(2) 对于直线$MN$平行于$x$轴的情况，需要利用平行于$x$轴的直线上的点的纵坐标都相等的性质。因此，将$a-1=-6$，解这个方程得到$a$的值，再代入$3a-8$求出$x$坐标。
【答案】：
(1) 解：
由于点$M$在$y$轴上，根据$y$轴上点的横坐标为$0$的性质，有：
$3a - 8 = 0$
解得：
$a = \frac{8}{3}$
将$a=\frac{8}{3}$代入$a-1$得：
$a - 1 = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}$
因此，点$M$的坐标为$(0, \frac{5}{3})$。
(2) 解：
由于直线$MN$平行于$x$轴，根据平行于$x$轴的直线上的点的纵坐标相等的性质，有：
$a - 1 = -6$
解得：
$a = -5$
将$a=-5$代入$3a-8$得：
$3a - 8 = 3 × (-5) - 8 = -15 - 8 = -23$
因此，点$M$的坐标为$(-23, -6)$。
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