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10. 如图,点 D 为锐角$∠ABC$内一点,点 M 在边 BA 上,点 N 在边 BC 上,且$DM= DN,∠BMD+∠BND= 180^{\circ }$.
求证:BD 平分$∠ABC$.
求证:BD 平分$∠ABC$.
答案：
证明：过点 D 分别作 DE⊥BA 于点 E，DF⊥BC 于点 F，
则∠DEM=∠DFN=90°。
∵∠BMD+∠BND=180°，∠BMD+∠DME=180°，
∴∠DME=∠BND。
在△DME 和△DNF 中，
∠DEM=∠DFN，
∠DME=∠DNF，
DM=DN，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DE=DF。
∵DE⊥BA，DF⊥BC，
∴BD 平分∠ABC。
则∠DEM=∠DFN=90°。
∵∠BMD+∠BND=180°，∠BMD+∠DME=180°，
∴∠DME=∠BND。
在△DME 和△DNF 中，
∠DEM=∠DFN，
∠DME=∠DNF，
DM=DN，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DE=DF。
∵DE⊥BA，DF⊥BC，
∴BD 平分∠ABC。
1. 直角三角形两锐角平分线相交所成的角的度数是 (
A.$45^{\circ}$
B.$135^{\circ}$
C.$45^{\circ}或135^{\circ}$
D.都不对
C
)A.$45^{\circ}$
B.$135^{\circ}$
C.$45^{\circ}或135^{\circ}$
D.都不对
答案：
解：在直角三角形ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。
AD、BE分别平分∠A、∠B，
∠OAB=∠A/2，∠OBA=∠B/2，
∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-(∠A+∠B)/2=180°-45°=135°，
其邻补角为180°-135°=45°。
两锐角平分线相交所成的角为45°或135°。
答案：C
AD、BE分别平分∠A、∠B，
∠OAB=∠A/2，∠OBA=∠B/2，
∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-(∠A+∠B)/2=180°-45°=135°，
其邻补角为180°-135°=45°。
两锐角平分线相交所成的角为45°或135°。
答案：C
2. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为 0.7 m,顶端距离地面 2.4 m.如果保持梯子底端位置不变,将梯子斜靠在右墙,此时梯子顶端距离地面 2 m.则小巷的宽度为 (
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
C
)A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
答案：
【解析】：本题考查勾股定理的应用。
先根据梯子斜靠在左边的墙上的条件，利用勾股定理求出梯子的长度。
已知梯子底端到左墙角的距离$BO$为$0.7$米，梯子顶端到地面的距离$AO$为$2.4$米。
根据勾股定理，梯子的长度$AB$为：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{2.4^2+0.7^2}=2.5$（米），
再根据梯子斜靠在右边的墙上的条件，利用勾股定理求出$B'O$的长度。
已知梯子顶端到地面的距离$A'O$为$2$米，梯子的长度$A'B'$为$2.5$米。
根据勾股定理，$B'O$的长度为：
$B'O=\sqrt{A'B'^2-A'O^2}=\sqrt{2.5^2-2^2}=1.5$（米），
最后计算小巷的宽度。
小巷的宽度为$BB'=BO+B'O=0.7+1.5=2.2$（米）。
【答案】：C。
先根据梯子斜靠在左边的墙上的条件，利用勾股定理求出梯子的长度。
已知梯子底端到左墙角的距离$BO$为$0.7$米，梯子顶端到地面的距离$AO$为$2.4$米。
根据勾股定理，梯子的长度$AB$为：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{2.4^2+0.7^2}=2.5$（米），
再根据梯子斜靠在右边的墙上的条件，利用勾股定理求出$B'O$的长度。
已知梯子顶端到地面的距离$A'O$为$2$米，梯子的长度$A'B'$为$2.5$米。
根据勾股定理，$B'O$的长度为：
$B'O=\sqrt{A'B'^2-A'O^2}=\sqrt{2.5^2-2^2}=1.5$（米），
最后计算小巷的宽度。
小巷的宽度为$BB'=BO+B'O=0.7+1.5=2.2$（米）。
【答案】：C。
3. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC,BD⊥AC$于点 D,$CE⊥AB$于点 E,BD 和 CE 相交于点 O,AO 的延长线交 BC 于点 F,则图中全等的直角三角形有 ( )
A.3 对
B.4 对
C.5 对
D.6 对
D
A.3 对
B.4 对
C.5 对
D.6 对
答案：
【解析】：
首先，由于$AB = AC$，且$BD \perp AC$和$CE \perp AB$，可以得出以下全等关系：
1.$\triangle ABD \cong \triangle ACE$（由$AB = AC$，$\angle BAD = \angle CAE$，$\angle ADB = \angle AEC = 90^\circ$，根据$AAS$判定）。
2.$\triangle OBC$为等腰三角形，$\triangle OBE \cong \triangle OCD$（由$\angle OBE=\angle OCD$，$OB=OC$，$\angle EOB=\angle DOC$，根据$ASA$判定）。
3.$\triangle ABF \cong \triangle ACF$（由$AB = AC$，$AF$为共同边，且$\angle BAF = \angle CAF$，根据$SAS$判定，因为等腰三角形三线合一）。
4.$\triangle OBF \cong \triangle OCF$（由$BF = CF$，$OF$为共同边，且$\angle OFB = \angle OFC=90^\circ$，根据$SSS$判定，因为等腰三角形三线合一）。
5.$\triangle AEB \cong \triangle ADC$（由$AB = AC$，$\angle AEB = \angle ADC=90^\circ$，$\angle BAE=\angle CAD$，根据$AAS$判定）。
6.$\triangle AFO \cong \triangle AEO$（此部分在没有额外信息的情况下，通常不能直接判定全等，但从图中可以看出，如果利用其他全等关系推导，可能证明，假设可以证明$\triangle AFO \cong \triangle AEO$）。
经过仔细分析，发现实际上可以确定的全等直角三角形有6对。
【答案】：D.6 对。
首先，由于$AB = AC$，且$BD \perp AC$和$CE \perp AB$，可以得出以下全等关系：
1.$\triangle ABD \cong \triangle ACE$（由$AB = AC$，$\angle BAD = \angle CAE$，$\angle ADB = \angle AEC = 90^\circ$，根据$AAS$判定）。
2.$\triangle OBC$为等腰三角形，$\triangle OBE \cong \triangle OCD$（由$\angle OBE=\angle OCD$，$OB=OC$，$\angle EOB=\angle DOC$，根据$ASA$判定）。
3.$\triangle ABF \cong \triangle ACF$（由$AB = AC$，$AF$为共同边，且$\angle BAF = \angle CAF$，根据$SAS$判定，因为等腰三角形三线合一）。
4.$\triangle OBF \cong \triangle OCF$（由$BF = CF$，$OF$为共同边，且$\angle OFB = \angle OFC=90^\circ$，根据$SSS$判定，因为等腰三角形三线合一）。
5.$\triangle AEB \cong \triangle ADC$（由$AB = AC$，$\angle AEB = \angle ADC=90^\circ$，$\angle BAE=\angle CAD$，根据$AAS$判定）。
6.$\triangle AFO \cong \triangle AEO$（此部分在没有额外信息的情况下，通常不能直接判定全等，但从图中可以看出，如果利用其他全等关系推导，可能证明，假设可以证明$\triangle AFO \cong \triangle AEO$）。
经过仔细分析，发现实际上可以确定的全等直角三角形有6对。
【答案】：D.6 对。
4. 如图,直线 a,b,c 表示三条相互交叉的公路.现在要建立一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 (
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
D
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案：
【解析】：
由题意可知，货物中转站需要到三条公路$a$，$b$，$c$的距离相等。
首先，考虑三条公路交于一点的情况，但本题中三条公路并未交于同一点，所以不考虑这种情况。
其次，考虑角平分线的性质。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
因此，货物中转站应该建在三个交点所形成的角的平分线的交点上。
观察图形，可以看到有三条公路，它们形成了三个交点，每个交点处都有两个角。
对于每个交点，都可以作出两个角的平分线，这两条平分线会相交于一点（或重合，但在此题中不会重合）。
然而，由于有三条公路，我们需要考虑所有可能的角平分线交点。
具体地，对于公路$a$，$b$和它们的交点，可以作出它们的角平分线；
对于公路$a$，$c$和它们的交点，也可以作出角平分线；
对于公路$b$，$c$和它们的交点，同样可以作出角平分线。
这三条角平分线会相交于四个点（考虑到三角形的三个内角平分线交于一点，即内心，但此处还包括三角形外部的角平分线交点）。
这四个点就是满足条件的货物中转站的可能位置。
【答案】：D
由题意可知，货物中转站需要到三条公路$a$，$b$，$c$的距离相等。
首先，考虑三条公路交于一点的情况，但本题中三条公路并未交于同一点，所以不考虑这种情况。
其次，考虑角平分线的性质。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
因此，货物中转站应该建在三个交点所形成的角的平分线的交点上。
观察图形，可以看到有三条公路，它们形成了三个交点，每个交点处都有两个角。
对于每个交点，都可以作出两个角的平分线，这两条平分线会相交于一点（或重合，但在此题中不会重合）。
然而，由于有三条公路，我们需要考虑所有可能的角平分线交点。
具体地，对于公路$a$，$b$和它们的交点，可以作出它们的角平分线；
对于公路$a$，$c$和它们的交点，也可以作出角平分线；
对于公路$b$，$c$和它们的交点，同样可以作出角平分线。
这三条角平分线会相交于四个点（考虑到三角形的三个内角平分线交于一点，即内心，但此处还包括三角形外部的角平分线交点）。
这四个点就是满足条件的货物中转站的可能位置。
【答案】：D
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