《2025年阳光假日暑假五年级数学人教版》

1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+……+(1+2+3+4+……+98+99)=166650

答案： 【解析】：
本题可先找出数列的通项公式，再根据通项公式求出数列的和。
- **步骤一：求数列的通项公式**
观察原式可知，第$n$项为$1 + 2 + 3 + \cdots + n$，根据等差数列求和公式$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$（其中$S_{n}$为前$n$项和，$a_{1}$为首项，$a_{n}$为末项）可得：
$1 + 2 + 3 + \cdots + n=\frac{n(n + 1)}{2}=\frac{1}{2}(n^{2}+n)$
- **步骤二：求原式的和**
原式可转化为$\sum_{n = 1}^{99}\frac{1}{2}(n^{2}+n)=\frac{1}{2}\sum_{n = 1}^{99}(n^{2}+n)=\frac{1}{2}(\sum_{n = 1}^{99}n^{2}+\sum_{n = 1}^{99}n)$。
求$\sum_{n = 1}^{99}n$：
根据等差数列求和公式$\sum_{n = 1}^{m}n=\frac{m(m + 1)}{2}$，可得$\sum_{n = 1}^{99}n=\frac{99\times(99 + 1)}{2}=\frac{99\times100}{2}=4950$。
求$\sum_{n = 1}^{99}n^{2}$：
根据平方和公式$\sum_{n = 1}^{m}n^{2}=\frac{m(m + 1)(2m + 1)}{6}$，可得$\sum_{n = 1}^{99}n^{2}=\frac{99\times(99 + 1)\times(2\times99 + 1)}{6}=\frac{99\times100\times199}{6}=328350$。
计算原式的值：
将$\sum_{n = 1}^{99}n = 4950$和$\sum_{n = 1}^{99}n^{2}=328350$代入$\frac{1}{2}(\sum_{n = 1}^{99}n^{2}+\sum_{n = 1}^{99}n)$可得：
$\frac{1}{2}(328350 + 4950)=\frac{1}{2}\times333300 = 166650$
【答案】：166650