《2025年赢在起跑线中学生快乐暑假七年级数学人教版河北少年儿童出版社》

16. 综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 4 x + 3 y } { 3 } + \frac { 6 x - y } { 8 } = 8, } \\ { \frac { 4 x + 3 y } { 6 } + \frac { 6 x - y } { 2 } = 11. } \end{array} \right.$
观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错.如果把方程组中的$( 4 x + 3 y )$看成一个整体，把$( 6 x - y )$看成一个整体，通过换元，可以解决问题.
设$4 x + 3 y = m$，$6 x - y = n$，则原方程组可化为$\left\{ \begin{array}{l}\frac{m}{3}+\frac{n}{8}=8\\frac{m}{6}+\frac{n}{2}=11\end{array}\right.$，解关于$m$，$n$的方程组，得$\left\{ \begin{array} { l } { m = 18, } \\ { n = 16, } \end{array} \right.$所以$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 18, } \\ { 6 x - y = 16, } \end{array} \right.$解方程组，得$\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array}\right.$.
拓展应用：运用上述方法解下列方程组：
$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + y ) - 2 ( x - 2 y ) = 26, } \\ { 2 ( 2 x + y ) + 3 ( x - 2 y ) = 13. } \end{array} \right.$
解：设$2x + y = a$，$x - 2y = b$，则原方程组可化为$\left\{ \begin{array}{l}3a-2b = 26\\2a + 3b = 13\end{array}\right.$，解关于$a$，$b$的方程组，得$\left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b=-1\end{array}\right.$，所以$\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 8\\x - 2y=-1\end{array}\right.$，解方程组，得$\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array}\right.$.

答案： 【解析】：
1. 对于原方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{4x + 3y}{3}+\frac{6x - y}{8}=8\\\frac{4x + 3y}{6}+\frac{6x - y}{2}=11\end{array}\right.$，设$4x + 3y = m$，$6x - y = n$，则原方程组可化为$\left\{\begin{array}{l}\frac{m}{3}+\frac{n}{8}=8\\\frac{m}{6}+\frac{n}{2}=11\end{array}\right.$。
解方程组$\left\{\begin{array}{l}4x + 3y = 18\\6x - y = 16\end{array}\right.$，由$6x - y = 16$可得$y = 6x - 16$，将$y = 6x - 16$代入$4x + 3y = 18$中，得到$4x+3(6x - 16)=18$，即$4x + 18x-48 = 18$，$22x=18 + 48$，$22x = 66$，解得$x = 3$。
把$x = 3$代入$y = 6x - 16$，得$y=6\times3 - 16=18 - 16 = 2$。
2. 对于方程组$\left\{\begin{array}{l}3(2x + y)-2(x - 2y)=26\\2(2x + y)+3(x - 2y)=13\end{array}\right.$，设$2x + y = a$，$x - 2y = b$，则原方程组可化为$\left\{\begin{array}{l}3a-2b = 26\\2a + 3b = 13\end{array}\right.$。
给$3a-2b = 26$两边同时乘以$3$，得$9a-6b = 78$；给$2a + 3b = 13$两边同时乘以$2$，得$4a + 6b = 26$。
将上述两个新方程相加：$(9a-6b)+(4a + 6b)=78 + 26$，即$13a=104$，解得$a = 8$。
把$a = 8$代入$3a-2b = 26$，得$3\times8-2b = 26$，$24-2b = 26$，$-2b = 26 - 24$，$-2b = 2$，解得$b=-1$。
所以得到$\left\{\begin{array}{l}2x + y = 8\\x - 2y=-1\end{array}\right.$，由$x - 2y=-1$可得$x = 2y - 1$，将$x = 2y - 1$代入$2x + y = 8$中，得$2(2y - 1)+y = 8$，$4y-2 + y = 8$，$5y=8 + 2$，$5y = 10$，解得$y = 2$。
把$y = 2$代入$x = 2y - 1$，得$x=2\times2 - 1 = 3$。
【答案】：$\left\{\begin{array}{l}\frac{m}{3}+\frac{n}{8}=8\\\frac{m}{6}+\frac{n}{2}=11\end{array}\right.$；$\left\{\begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array}\right.$；$\left\{\begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array}\right.$