《2025年赢在起跑线中学生快乐暑假七年级数学人教版河北少年儿童出版社》

【典例剖析】如图，已知 $ AB // CD $。探究：$ \angle ABP $，$ \angle BPC $，$ \angle PCD $ 三者关系。

答案： 解：
(1)如图
(1)，过点 $ P $ 作 $ PH // AB $，
$ \because AB // CD $，
$ \therefore PH // AB // CD $，
$ \therefore \angle ABP = \angle BPH $，$ \angle DCP = \angle CPH $，
$ \therefore \angle ABP + \angle DCP = \angle BPH + \angle CPH $。
又 $ \angle BPH + \angle CPH = \angle BPC $，
$ \therefore \angle ABP + \angle DCP = \angle BPC $。
(2)如图
(2)，过点 $ P $ 作 $ PH // AB $，
$ \because AB // CD $。
$ \therefore PH // AB // CD $，
$ \therefore \angle ABP = \angle BPH $，$ \angle DCP = \angle CPH $，
$ \therefore \angle DCP - \angle ABP = \angle CPH - \angle BPH $。
又 $ \angle CPH - \angle BPH = \angle BPC $，
$ \therefore \angle DCP = \angle ABP + \angle BPC $。
(3)
(4)
(5)与
(2)证法相同。
结论：两条直线平行，拐点无论是在两条直线之间还是在两条直线同侧，都有较大的角等于较小两个角之和。
(6)如图
(6)，过点 $ P $ 作 $ PH // AB $，
$ \because AB // CD $。
$ \therefore PH // AB // CD $，
$ \therefore \angle ABP + \angle BPH = 180^{\circ} $，$ \angle DCP + \angle CPH = 180^{\circ} $，
$ \therefore \angle ABP + \angle DCP + \angle BPH + \angle CPH = 360^{\circ} $。
又 $ \angle BPH + \angle CPH = \angle BPC $，
$ \therefore \angle ABP + \angle DCP + \angle BPC = 360^{\circ} $。
结论：拐点在两条平行线之间且外凸，则有三个角之和等于 $ 360^{\circ} $。