《2025年快乐暑假天天练数学物理生物》

四、思考并解答
如图, 直线 $ l_1, l_2 $ 交于点 $ A $, 直线 $ l_2 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ B(-4, 0), D(0, 4) $, 直线 $ l_1 $ 所对应的函数表达式为 $ y = - 2x - 2 $, 且与 $ x $ 轴交于点 $ C $.
1. 求点 $ C $ 的坐标及直线 $ l_2 $ 所对应的函数表达式;
2. 求 $ \triangle ABC $ 的面积;
3. $ P $ 是线段 $ BD $ 上的一个动点 (点 $ P $ 与 $ B, D $ 不重合). 设点 $ P $ 的坐标为 $ (m, n) $, $ \triangle PBC $ 的面积为 $ S $, 请直接写出 $ S $ 与 $ m $ 的函数表达式 (不要求写出自变量 $ m $ 的取值范围).

答案： 1. 对于直线$l_1:y = - 2x - 2$，令$y = 0$，则$0=-2x - 2$，解得$x=-1$，所以点$C$的坐标为$(-1,0)$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y = kx + b$，把$B(-4,0)$，$D(0,4)$代入可得$\begin{cases}-4k + b = 0\\b = 4\end{cases}$，将$b = 4$代入$-4k + b = 0$，得$-4k+4 = 0$，$4k = 4$，解得$k = 1$，所以直线$l_2$的函数表达式为$y = x + 4$。
2. 联立$\begin{cases}y=-2x - 2\\y = x + 4\end{cases}$，即$-2x-2=x + 4$，$-2x-x=4 + 2$，$-3x=6$，解得$x=-2$，把$x=-2$代入$y = x + 4$得$y=-2 + 4=2$，所以$A(-2,2)$。
已知$B(-4,0)$，$C(-1,0)$，则$BC=\vert-1-(-4)\vert=\vert-1 + 4\vert = 3$，点$A$到$x$轴的距离$h = 2$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，所以${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times BC\times\vert{y}_{A}\vert=\frac{1}{2}\times3\times2 = 3$。
3. 因为点$P(m,n)$在直线$l_2:y = x + 4$上，所以$n=m + 4$。
已知$B(-4,0)$，$C(-1,0)$，则$BC=\vert-1-(-4)\vert = 3$，点$P$到$x$轴的距离为$\vert n\vert$（因为$P$在线段$BD$上，$n＞0$），${S}_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}\times BC\times n$，把$BC = 3$，$n=m + 4$代入可得$S=\frac{1}{2}\times3\times(m + 4)=\frac{3}{2}m+6$。
1. 点$C$的坐标为$(-1,0)$，直线$l_2$的函数表达式为$y = x + 4$。
2. $\triangle ABC$的面积为$3$。
3. $S=\frac{3}{2}m + 6$。