《2025年快乐暑假天天练数学物理生物》

1. 下列分式中,属于最简分式的是 ()
A. $\frac {15x}{3x^{2}}$
B. $\frac {2x}{x^{2}+1}$
C. $\frac {x+1}{x^{2}-1}$
D. $\frac {1-x}{x-1}$

答案： 1. 首先明确最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。
- 选项A：对于$\frac{15x}{3x^{2}}$，分子分母的公因式是$3x$，对其进行约分$\frac{15x}{3x^{2}}=\frac{15x\div3x}{3x^{2}\div3x}=\frac{5}{x}$，所以它不是最简分式。
- 选项B：对于$\frac{2x}{x^{2}+1}$，因为$x^{2}+1$不能因式分解，分子$2x$与分母$x^{2}+1$没有公因式，所以$\frac{2x}{x^{2}+1}$是最简分式。
- 选项C：对于$\frac{x + 1}{x^{2}-1}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，那么$\frac{x + 1}{x^{2}-1}=\frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{1}{x - 1}$（$x\neq - 1$），所以它不是最简分式。
- 选项D：对于$\frac{1 - x}{x - 1}$，因为$1 - x=-(x - 1)$，所以$\frac{1 - x}{x - 1}=\frac{-(x - 1)}{x - 1}=-1$（$x\neq1$），所以它不是最简分式。
B

2. 若点$A(a+1,b-2)$在第二象限,则点$B(-a,b+1)$在 ()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： **步骤一：根据点$A$在第二象限，求出$a$、$b$的取值范围**
在平面直角坐标系中，第二象限内的点横坐标小于$0$，纵坐标大于$0$。
已知点$A(a + 1, b - 2)$在第二象限，则可得不等式组$\begin{cases}a + 1\lt 0\\b - 2\gt 0\end{cases}$。
分别求解这两个不等式：
- 解不等式$a + 1\lt 0$，两边同时减去$1$，可得$a\lt -1$。
- 解不等式$b - 2\gt 0$，两边同时加上$2$，可得$b\gt 2$。
**步骤二：根据$a$、$b$的取值范围，判断点$B$横、纵坐标的正负**
已知点$B(-a, b + 1)$，由$a\lt -1$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得$-a\gt 1$，即点$B$的横坐标大于$0$。
由$b\gt 2$，两边同时加上$1$，可得$b + 1\gt 3$，即点$B$的纵坐标大于$0$。
**步骤三：根据点$B$横、纵坐标的正负，确定点$B$所在的象限**
在平面直角坐标系中，第一象限内的点横坐标大于$0$，纵坐标大于$0$。
因为点$B$的横坐标大于$0$，纵坐标大于$0$，所以点$B$在第一象限。
A

3. 如图,向容器甲中匀速地注水,下面可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的图象是 ()

答案： - 容器甲是下窄上宽的形状。
- 向容器中匀速注水，意味着单位时间内注入水的体积是固定的。
- 根据$V = S\times h$（$V$是体积，$S$是底面积，$h$是高），因为下窄上宽，所以随着水的注入，水的高度上升速度会越来越慢（下面底面积小，上升快；上面底面积大，上升慢）。
- 选项A是直线，说明水高上升速度不变，不符合容器形状特点；选项B起始高度不是$0$，不符合实际情况（开始注水时水高为$0$）；选项D水高上升速度越来越快，也不符合下窄上宽容器的特点；选项C符合水的高度上升速度越来越慢的特点。
C

4. 方差的计算公式$s^{2}= \frac {1}{10}[(x_{1}-20)^{2}+(x_{2}-20)^{2}+... +(x_{9}-20)^{2}+(x_{10}-20)^{2}]$中,数字 10 和 20 分别表示的意义是 ()
A. 数据的个数和方差
B. 数据的平均数和个数
C. 数据的个数和平均数
D. 数据的方差和平均数

答案： C