《2025年快乐暑假天天练数学物理生物》

1. 当$x= -2$时,分式$\frac {x-b}{x-a}$无意义;当$x= 4$时,该分式的值为0.则$a+b= $____.

答案： 2
- 对于分式$\frac{A}{B}$，当$B = 0$时，分式无意义；当$A = 0$且$B\neq0$时，分式的值为$0$。
- 已知当$x=-2$时，分式$\frac{x - b}{x - a}$无意义，根据分式无意义的条件，此时分母$x - a=0$，即$-2 - a = 0$，解得$a=-2$。
- 又已知当$x = 4$时，该分式的值为$0$，根据分式值为$0$的条件，此时分子$x - b = 0$且分母$x - a\neq0$。
- 由分子$x - b = 0$，把$x = 4$代入可得$4 - b = 0$，解得$b = 4$。
2. 然后计算$a + b$的值：
- 把$a=-2$，$b = 4$代入$a + b$，可得$a + b=-2 + 4=2$。

2. 若关于x的分式方程$\frac {a}{x-1}+\frac {3}{1-x}= 1$无解,则a的值为____.

答案： 3
**步骤一：将分式方程化为整式方程**
已知分式方程$\frac{a}{x - 1} + \frac{3}{1 - x} = 1$，因为$\frac{3}{1 - x}=-\frac{3}{x - 1}$，所以原方程可化为$\frac{a}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} = 1$。
方程两边同时乘以$(x - 1)$去分母得：$a - 3 = x - 1$。
**步骤二：分析分式方程无解的情况**
分式方程无解有两种情况：一是由分式方程化成的整式方程无解；二是由分式方程化成的整式方程的解是原分式方程的增根。
- **情况一：整式方程无解**
由$a - 3 = x - 1$可得$x = a - 2$，此整式方程一定有解，所以这种情况不存在。
- **情况二：整式方程的解是原分式方程的增根**
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为$0$的根。
对于原分式方程$\frac{a}{x - 1} + \frac{3}{1 - x} = 1$，其分母为$x - 1$，令$x - 1 = 0$，解得$x = 1$，即原分式方程的增根为$x = 1$。
把$x = 1$代入整式方程$x = a - 2$中，可得$1 = a - 2$，解得$a = 3$。
综上，当$a = 3$时，原分式方程无解。

3. 对于实数a,b,定义新运算:$a△b= \left\{\begin{array}{l} a^{b}(a＞b,a≠0),\\ a^{-b}(a≤b,a≠0),\end{array}\right. 如2△3= 2^{-3}= \frac {1}{8},4△2= 4^{2}= 16$,则$[2△(-4)]×[(-4)△(-2)]= $____.

答案： 1
**步骤一：计算$2△(-4)$的值**
根据新运算$a△b = \begin{cases}a^b&(a\gt b,a\neq0)\\a^{-b}&(a\leq b,a\neq0)\end{cases}$，比较$2$与$-4$的大小：$2\gt -4$，满足$a\gt b$的条件，所以$2△(-4)=2^{-4}$。
根据负指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a\neq0$，$p$为正整数），可得$2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$。
**步骤二：计算$(-4)△(-2)$的值**
比较$-4$与$-2$的大小：$-4\lt -2$，满足$a\leq b$的条件，所以$(-4)△(-2)=(-4)^{-(-2)} = (-4)^2$。
根据乘方的定义，$(-4)^2=(-4)×(-4)=16$。
**步骤三：计算$[2△(-4)]×[(-4)△(-2)]$的值**
将$2△(-4)=\frac{1}{16}$，$(-4)△(-2)=16$代入$[2△(-4)]×[(-4)△(-2)]$可得：
$[2△(-4)]×[(-4)△(-2)]=\frac{1}{16}×16 = 1$

4. 观察下列各式:$\frac {1}{1×3}= \frac {1}{2}(1-\frac {1}{3}),\frac {1}{3×5}= \frac {1}{2}(\frac {1}{3}-\frac {1}{5}),\frac {1}{5×7}= \frac {1}{2}(\frac {1}{5}-\frac {1}{7}),... $.根据观察计算:$\frac {1}{1×3}+\frac {1}{3×5}+\frac {1}{5×7}+... +\frac {1}{(2n-1)×(2n+1)}= $____.(n为正整数)

答案： $\frac{n}{2n + 1}$
本题可先根据已知条件找出式子的规律，再利用规律对原式进行化简计算。
**步骤一：分析已知式子的规律**
已知$\frac{1}{1\times3}=\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3})$，$\frac{1}{3\times5}=\frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$，$\frac{1}{5\times7}=\frac{1}{2}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7})$，$\cdots$。
可以发现规律：$\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1})$（$k$为正整数）。
**步骤二：将原式按照规律展开**
$\frac{1}{1\times3}+\frac{1}{3\times5}+\frac{1}{5\times7}+\cdots +\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$
根据上述规律可将每一项进行转化：
$\frac{1}{1\times3}=\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3})$
$\frac{1}{3\times5}=\frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$
$\frac{1}{5\times7}=\frac{1}{2}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7})$
$\cdots$
$\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1})$
则原式可转化为：
$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \cdots + \frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1})$
**步骤三：提取公因式$\frac{1}{2}$并化简**
提取公因式$\frac{1}{2}$可得：
$\frac{1}{2}[(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \cdots + (\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1})]$
去括号可得：
$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1})$
可以发现从$-\frac{1}{3}$到$\frac{1}{2n - 1}$这些项都可以相互抵消，最后只剩下$1$和$-\frac{1}{2n + 1}$，即：
$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2n + 1})$
**步骤四：计算最终结果**
对$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2n + 1})$进行计算：
$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2n + 1})=\frac{1}{2}\times\frac{2n + 1 - 1}{2n + 1}=\frac{1}{2}\times\frac{2n}{2n + 1}=\frac{n}{2n + 1}$

1. 计算:
(1)$(-1)^{2022}÷(-3)^{-2}+3^{2}÷(-2)×\frac {1}{2}-(-2)^{-2};$
(2)$(\frac {1}{x-y}+\frac {1}{x+y})÷\frac {xy}{x^{2}-y^{2}}.$

答案： 1. 对于$(-1)^{2022}÷(-3)^{-2}+3^{2}÷(-2)×\frac {1}{2}-(-2)^{-2}$：
- 先分别计算各项：
- 根据负数的偶次幂是正数，可得$(-1)^{2022}=1$；
- 根据负整数指数幂公式$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a\neq0)$，则$(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^{2}}=\frac{1}{9}$，$(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^{2}}=\frac{1}{4}$；$3^{2}=9$。
- 再进行乘除运算：
- $1\div\frac{1}{9}=1\times9 = 9$；$9\div(-2)\times\frac{1}{2}=9\times(-\frac{1}{2})\times\frac{1}{2}=-\frac{9}{4}$。
- 最后进行加减运算：
- 原式$=9-\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=9 - (\frac{9}{4}+\frac{1}{4})=9-\frac{10}{4}=9 - \frac{5}{2}=\frac{18 - 5}{2}=\frac{13}{2}$。
2. 对于$(\frac {1}{x - y}+\frac {1}{x + y})÷\frac {xy}{x^{2}-y^{2}}$：
- 先对括号内通分：
- $\frac{1}{x - y}+\frac{1}{x + y}=\frac{x + y}{(x - y)(x + y)}+\frac{x - y}{(x - y)(x + y)}=\frac{x + y+x - y}{(x - y)(x + y)}=\frac{2x}{(x - y)(x + y)}$。
- 再根据平方差公式$x^{2}-y^{2}=(x - y)(x + y)$，将除法转化为乘法：
- 原式$=\frac{2x}{(x - y)(x + y)}\times\frac{(x - y)(x + y)}{xy}$。
- 然后约分可得：$\frac{2}{y}$。
1. $\frac{13}{2}$ 2. $\frac{2}{y}$