《2025年快乐暑假天天练数学物理生物》

4. 一个装有进水管和出水管的容器, 从某时刻开始的 4 分钟内只进水不出水, 在随后的 8 分钟内既进水又出水, 接着关闭进水管直到容器内的水放完. 假设每分钟的进水量和出水量是两个常数, 容器内的水量 $ y $ (单位: 升) 与时间 $ x $ (单位: 分) 之间的部分关系如图所示. 那么, 从关闭进水管起____分钟该容器内的水恰好放完.

答案： 8
首先求进水管的进水速度：
- 由图象可知，$0 - 4$分钟只进水，$4$分钟进水$20$升，根据速度$=$总量$\div$时间，可得进水管的进水速度$v_{进}=\frac{20}{4}=5$（升/分）。
- 然后求进水管和出水管同时工作时的实际进水速度：
- $4 - 12$分钟既进水又出水，$12 - 4 = 8$分钟，这$8$分钟进水$30 - 20 = 10$升，所以进水管和出水管同时工作时的实际进水速度$v_{实}=\frac{30 - 20}{12 - 4}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$（升/分）。
- 接着求出水管的出水速度：
- 因为$v_{实}=v_{进}-v_{出}$，所以出水管的出水速度$v_{出}=v_{进}-v_{实}$，把$v_{进}=5$升/分，$v_{实}=\frac{5}{4}$升/分代入，可得$v_{出}=5-\frac{5}{4}=\frac{20 - 5}{4}=\frac{15}{4}$（升/分）。
- 最后求关闭进水管后放完水的时间：
- 关闭进水管时容器内有$30$升水，根据时间$=$总量$\div$速度，可得放完水的时间$t=\frac{30}{\frac{15}{4}}=30\times\frac{4}{15}=8$（分钟）。

1. 一次函数图象经过 $ (3, 1),(2, 0) $ 两点.
(1) 求这个一次函数的解析式;
(2) 当 $ x = 6 $ 时, 求 $ y $ 的值.

答案： 1. 设该一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
- 因为函数图象经过$(3,1)$，$(2,0)$两点，将这两点代入解析式可得方程组$\begin{cases}3k + b = 1\\2k + b = 0\end{cases}$。
- 用第一个方程$3k + b = 1$减去第二个方程$2k + b = 0$，可得：
- $(3k + b)-(2k + b)=1 - 0$，去括号得$3k + b - 2k - b = 1$，合并同类项得$k = 1$。
- 把$k = 1$代入$2k + b = 0$，即$2\times1 + b = 0$，解得$b=-2$。
- 所以这个一次函数的解析式为$y = x - 2$。
2. 当$x = 6$时，把$x = 6$代入$y = x - 2$，则$y=6 - 2 = 4$。
1. 这个一次函数的解析式为$y = x - 2$。
2. 当$x = 6$时，$y$的值为$4$。

2. 如图, 反比例函数的图象经过点 $ A, B $, 点 $ A $ 的坐标为 $ (1, 3) $, 点 $ B $ 的纵坐标为 1, 点 $ C $ 的坐标为 $ (2, 0) $.
(1) 求该反比例函数的表达式;
(2) 求直线 $ BC $ 的表达式.

答案： $(1)$该反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}}$；
$(2)$直线$BC$的表达式为$\boldsymbol{y = x - 2}$。

3. 1 号探测气球从海拔 5 m 处出发, 以 1 m/min 的速度上升, 与此同时, 2 号探测气球从海拔 15 m 处出发, 以 0.5 m/min 的速度上升. 两个气球都匀速上升了 50 min.
设气球上升的时间为 $ x(0 \leq x \leq 50) $ min.
(1) 根据题意, 填写下表:

(2) 在某时刻两个气球能否位于同一高度? 如果能, 这时气球上升了多长时间? 位于什么高度? 如果不能, 请说明理由.
(3) 当 $ 30 \leq x \leq 50 $ 时, 两个气球所在位置的海拔最多相差多少米?

答案：
(1)
对于$1$号探测气球，从海拔$5m$处出发，速度是$1m/min$，上升时间为$x$分钟，根据“海拔高度$=$初始海拔$+$上升的高度”，其海拔高度$y_1 = 5 + 1\times x=5 + x$。
当$x = 30$时，$y_1=5 + 30=35$；当$x$为任意值时，$1$号探测气球海拔为$(x + 5)$。
对于$2$号探测气球，从海拔$15m$处出发，速度是$0.5m/min$，上升时间为$x$分钟，其海拔高度$y_2=15 + 0.5\times x = 15+0.5x$。
当$x = 10$时，$y_2=15 + 0.5\times10=15 + 5 = 20$。
(2)
若两个气球位于同一高度，则$y_1=y_2$，即$5 + x=15+0.5x$。
移项可得：$x-0.5x=15 - 5$。
合并同类项：$0.5x=10$，解得$x = 20$。
把$x = 20$代入$y_1=5 + x$，得$y_1=5 + 20=25$（或代入$y_2=15+0.5x$，$y_2=15+0.5\times20=15 + 10=25$）。
(3)
设两个气球海拔高度差为$y$，则$y=y_1-y_2=(5 + x)-(15+0.5x)=5 + x-15 - 0.5x=0.5x-10$。
因为$k = 0.5\gt0$，所以$y$随$x$的增大而增大。
当$x = 50$时，$y$有最大值，$y=0.5\times50-10=25 - 10=15$。
(1) 从左到右，从上到下依次为$35$，$x + 5$，$20$。
(2) 能，这时气球上升了$20min$，位于海拔$25m$的高度。
(3) 两个气球所在位置的海拔最多相差$15m$。