《2025年快乐暑假天天练数学物理生物》

5. 如图,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,DA,CD,BC的中点.若$AB= 2,AD= 4$,则图中阴影部分的面积为 ()

A. 3
B. 4
C. 6
D. 8

答案： 本题可先求出矩形$ABCD$的面积，再通过分析空白部分三角形的面积与矩形面积的关系，进而求出阴影部分的面积。
**步骤一：计算矩形$ABCD$的面积**
根据矩形面积公式$S = 长\times宽$，已知$AB = 2$（可看作矩形的长），$AD = 4$（可看作矩形的宽），则矩形$ABCD$的面积为：
$S_{矩形ABCD}=AB\times AD=2\times4 = 8$
**步骤二：分析空白部分三角形的面积与矩形面积的关系**
已知$E$，$F$，$G$，$H$分别为边$AB$，$DA$，$CD$，$BC$的中点。
- 对于$\triangle AE F$：$AE=\frac{1}{2}AB$，$AF = \frac{1}{2}AD$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，可得$S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}\times AE\times AF=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}AB\times\frac{1}{2}AD=\frac{1}{8}AB\times AD$。
- 同理，$\triangle BEH$、$\triangle CHG$、$\triangle DFG$的面积也都为$\frac{1}{8}AB\times AD$。
- 那么四个空白三角形的面积之和为：$4\times\frac{1}{8}AB\times AD=\frac{1}{2}AB\times AD$。
**步骤三：计算阴影部分的面积**
阴影部分的面积$S_{阴影}=S_{矩形ABCD}-4S_{\triangle AEF}$，将$S_{矩形ABCD}=AB\times AD$，$4S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}AB\times AD$代入可得：
$S_{阴影}=AB\times AD-\frac{1}{2}AB\times AD=\frac{1}{2}AB\times AD$
把$AB = 2$，$AD = 4$代入上式，可得$S_{阴影}=\frac{1}{2}\times2\times4 = 4$。
B

1. 计算:$|-5|-2022^{0}+(\frac {1}{2})^{-1}= $____.

答案： - **计算$\vert -5\vert$的值：**
根据绝对值的性质，正数和$0$的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
因为$-5$是负数，所以$\vert -5\vert = -(-5)= 5$。
- **计算$2022^0$的值：**
根据零指数幂的运算法则，任何非零数的$0$次幂都等于$1$，即$a^0 = 1$（$a\neq 0$）。
因为$2022\neq 0$，所以$2022^0 = 1$。
- **计算$(\frac{1}{2})^{-1}$的值：**
根据负整数指数幂的运算法则，$a^{-p} = \frac{1}{a^p}$（$a\neq 0$，$p$为正整数）。
则$(\frac{1}{2})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。
将上述各项的值代入原式可得：
$\vert -5\vert - 2022^0 + (\frac{1}{2})^{-1} = 5 - 1 + 2 = 6$。
$6$

2. 如图,在四边形ABCD中,$AB= BC= CD= DA$,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加的一个条件是____.

答案： 已知四边形$ABCD$中，$AB = BC = CD = DA$，根据菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”，所以四边形$ABCD$是菱形。
正方形的判定定理有：“有一个角是直角的菱形是正方形”以及“对角线相等的菱形是正方形”。
因为题目要求不增加任何字母与辅助线，所以从这两个判定定理出发，可添加的条件为$\angle BAD = 90^{\circ}$（或$\angle ABC = 90^{\circ}$或$\angle BCD = 90^{\circ}$或$\angle ADC = 90^{\circ}$），此时根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可判定四边形$ABCD$是正方形；也可添加条件$AC = BD$，此时根据“对角线相等的菱形是正方形”可判定四边形$ABCD$是正方形。
$AC = BD$（或$\angle BAD = 90^{\circ}$等，答案不唯一）。

3. 已知关于x的方程$\frac {x+a}{x-2}= -1$有解且大于0,则a的取值范围是____.

答案： 首先解方程$\frac{x + a}{x - 2}=-1$，
方程两边同乘$x - 2$得：$x + a=-(x - 2)$，
去括号得：$x + a=-x + 2$，
移项得：$x+x=2 - a$，
合并同类项得：$2x=2 - a$，
系数化为$1$得：$x=\frac{2 - a}{2}$。
因为方程有解，所以$x - 2\neq0$，即$x\neq2$，那么$\frac{2 - a}{2}\neq2$，
$2 - a\neq4$，解得$a\neq - 2$。
又因为方程的解$x\gt0$，即$\frac{2 - a}{2}\gt0$，
$2 - a\gt0$，解得$a\lt2$。
综上，$a$的取值范围是$a\lt2$且$a\neq - 2$。
$a\lt2$且$a\neq - 2$

4. 如图,已知平面上四点$A(0,0),B(10,0),C(10,6),D(0,6)$,直线$y= mx-3m+2(m≠0)$将四边形ABCD分成面积相等的两部分,则m的值为____.

答案： 首先判断四边形$ABCD$的形状：
已知$A(0,0)$，$B(10,0)$，$C(10,6)$，$D(0,6)$，则$AB// CD$，$AD// BC$，$\angle A = 90^{\circ}$，所以四边形$ABCD$是矩形。
根据矩形面积公式$S = 长\times宽$，可得$S_{矩形ABCD}=10\times6 = 60$。
然后求矩形$ABCD$对角线交点坐标：
因为矩形的对角线互相平分且相等，所以对角线交点$O$是矩形$ABCD$的中心，$O$点坐标为$(\frac{0 + 10}{2},\frac{0+6}{2})$，即$O(5,3)$。
最后根据直线过矩形中心求$m$的值：
因为直线$y=mx - 3m + 2(m\neq0)$将四边形$ABCD$分成面积相等的两部分，所以直线$y=mx - 3m + 2$过点$O(5,3)$。
把$x = 5$，$y = 3$代入$y=mx - 3m + 2$中，得到$3=m\times5-3m + 2$。
化简方程$3 = 5m-3m + 2$，即$3 = 2m+2$。
移项可得$2m=3 - 2$，$2m = 1$，解得$m=\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$