《2025年快乐暑假天天练数学物理生物》

2. 如图,正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 OC 上一点,连接 EB.过点 A 作$AM⊥BE$,垂足为 M,AM 与 BD 交于点 F.求证:$OE= OF$.

答案： 本题可通过证明$\triangle AOF$和$\triangle BOE$全等，从而得出$OE = OF$。
**步骤一：分析正方形的性质**
已知四边形$ABCD$是正方形，根据正方形的性质可知：
$AC\perp BD$，即$\angle AOF=\angle BOE = 90^{\circ}$；
$OA = OB$；
$\angle FAO+\angle AFO = 90^{\circ}$。
**步骤二：推导$\angle FAO$与$\angle EBO$的关系**
因为$AM\perp BE$，所以$\angle EBO+\angle BFM = 90^{\circ}$。
又因为$\angle AFO=\angle BFM$（对顶角相等），所以$\angle FAO+\angle AFO=\angle EBO+\angle BFM$，进而可得$\angle FAO=\angle EBO$。
**步骤三：证明$\triangle AOF\cong\triangle BOE$**
在$\triangle AOF$和$\triangle BOE$中：
$\begin{cases}\angle FAO=\angle EBO\\OA = OB\\\angle AOF=\angle BOE\end{cases}$
根据“角 - 边 - 角”（$ASA$）全等判定定理，可得$\triangle AOF\cong\triangle BOE$。
**步骤四：根据全等三角形的性质得出结论**
因为全等三角形的对应边相等，$\triangle AOF\cong\triangle BOE$，所以$OE = OF$。
在正方形$ABCD$中，$AC\perp BD$，$OA = OB$，$\angle AOF=\angle BOE = 90^{\circ}$，则$\angle FAO+\angle AFO = 90^{\circ}$。
因为$AM\perp BE$，所以$\angle EBO+\angle BFM = 90^{\circ}$。
又因为$\angle AFO=\angle BFM$（对顶角相等），所以$\angle FAO=\angle EBO$。
在$\triangle AOF$和$\triangle BOE$中，$\begin{cases}\angle FAO=\angle EBO\\OA = OB\\\angle AOF=\angle BOE\end{cases}$，所以$\triangle AOF\cong\triangle BOE(ASA)$。
根据全等三角形的对应边相等，可得$OE = OF$。
综上，$\boldsymbol{OE = OF}$得证。

3. 小红从家里出发骑自行车去舅舅家做客,当她骑行了一段时间后,想起要买个礼物送给表弟,于是又折回到刚刚经过的一家商店,买好礼物后又继续骑自行车去舅舅家.以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图.根据图中提供的信息回答下列问题:
(1) 小红家到舅舅家的路程是____米,小红在商店停留了____分钟;
(2) 在去舅舅家的整个途中,在哪个时间段小红骑自行车的速度最快? 最快的速度是多少米/分?
(3) 本次去舅舅家的行程中,小红一共骑行了多少米? 一共用了多少分钟?

答案：
(1) 从图像的纵坐标可以直接看出小红家到舅舅家的路程是$1500$米。在商店停留时路程不变，对应图像中$8$分钟到$12$分钟这一段，停留时间为$12 - 8 = 4$分钟。
(2) 速度$=$路程$\div$时间。
- $0 - 4$分钟：速度$v_1=\frac{1200}{4}=300$（米/分）。
- $4 - 8$分钟：这是折返过程，路程为$1200 - 600 = 600$米，时间是$8 - 4 = 4$分钟，速度$v_2=\frac{600}{4}=150$（米/分）。
- $12 - 14$分钟：路程为$1500 - 600 = 900$米，时间是$14 - 12 = 2$分钟，速度$v_3=\frac{900}{2}=450$（米/分）。
比较$v_1$、$v_2$、$v_3$大小，$450\gt300\gt150$，所以$12 - 14$分钟这个时间段速度最快。
(3) 骑行的总路程：$1200+(1200 - 600)+(1500 - 600)=1200 + 600+900 = 2700$米。
从横坐标可以看出一共用了$14$分钟。
(1) $1500$，$4$。
(2) $12 - 14$分钟时间段小红骑自行车的速度最快，最快速度是$450$米/分。
(3) 小红一共骑行了$2700$米，一共用了$14$分钟。