《2025年快乐暑假天天练数学物理生物》

四、阅读下面的材料,并解答问题
分式$\frac {2x+8}{x+2}(x≥0)$的最大值是多少?
解:$\frac {2x+8}{x+2}= \frac {2x+4+4}{x+2}= \frac {2(x+2)}{x+2}+\frac {4}{x+2}= 2+\frac {4}{x+2},$
$\because x≥0,\therefore x+2$的最小值是2,$\therefore \frac {1}{x+2}的最大值是\frac {1}{2},$
$\therefore 2+\frac {4}{x+2}$的最大值是4,即$\frac {2x+8}{x+2}(x≥0)$的最大值是4.
解答下列问题:
1. 分式$\frac {3x+7}{x-1}(x≥3)$的最大值是____.
2. 分式$\frac {2x^{2}+5}{x^{2}+1}$的最大值是____.
3. 分式$\frac {2x^{2}+5}{x^{2}-1}$的最小值是____.

答案： 1. 对于分式$\frac{3x + 7}{x - 1}(x\geq3)$，将其变形：
- $\frac{3x + 7}{x - 1}=\frac{3x - 3+10}{x - 1}=\frac{3(x - 1)}{x - 1}+\frac{10}{x - 1}=3+\frac{10}{x - 1}$。
- 因为$x\geq3$，所以$x - 1\geq2$，那么$x - 1$的最小值是$2$，$\frac{1}{x - 1}$的最大值是$\frac{1}{2}$。
- 所以$3+\frac{10}{x - 1}$的最大值是$3 + 10\times\frac{1}{2}=3 + 5 = 8$。
2. 对于分式$\frac{2x^{2}+5}{x^{2}+1}$，进行变形：
- $\frac{2x^{2}+5}{x^{2}+1}=\frac{2x^{2}+2 + 3}{x^{2}+1}=\frac{2(x^{2}+1)}{x^{2}+1}+\frac{3}{x^{2}+1}=2+\frac{3}{x^{2}+1}$。
- 因为$x^{2}\geq0$，所以$x^{2}+1\geq1$，$x^{2}+1$的最小值是$1$，$\frac{1}{x^{2}+1}$的最大值是$1$。
- 所以$2+\frac{3}{x^{2}+1}$的最大值是$2 + 3\times1=5$。
3. 对于分式$\frac{2x^{2}+5}{x^{2}-1}$，变形可得：
- $\frac{2x^{2}+5}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-2 + 7}{x^{2}-1}=\frac{2(x^{2}-1)}{x^{2}-1}+\frac{7}{x^{2}-1}=2+\frac{7}{x^{2}-1}$。
- 因为$x^{2}-1\gt0$（分母不能为$0$），$x^{2}\geq0$，当$x^{2}$逐渐增大时，$x^{2}-1$也逐渐增大，$\frac{1}{x^{2}-1}$逐渐趋近于$0$，但$x^{2}-1\gt0$，当$x^{2}$取最小能使$x^{2}-1\gt0$的值，即$x^{2}\gt1$，当$x^{2}$无限趋近于$1$（$x^{2}\gt1$）时，$x^{2}-1$无限趋近于$0$且为正，$\frac{7}{x^{2}-1}$趋近于正无穷大；当$x^{2}$越来越大时，$\frac{7}{x^{2}-1}$越来越小趋近于$0$，所以当$x^{2}$越来越大时，$2+\frac{7}{x^{2}-1}$趋近于$2$，但$2+\frac{7}{x^{2}-1}\gt2$，当$x^{2}$取合适的值使得$x^{2}-1$尽可能大时，$\frac{7}{x^{2}-1}$趋近于$0$，此时$\frac{2x^{2}+5}{x^{2}-1}$的最小值趋近于$2$，但因为$x^{2}-1\gt0$，当$x^{2}$使得$x^{2}-1 = 7$即$x^{2}=8$时，$2+\frac{7}{x^{2}-1}=2 + 1=3$。
1. $8$ 2. $5$ 3. $3$