《2025年快乐暑假天天练数学物理生物》

2. 某公司今年如果用原线下销售方式销售一种产品,每月的销售额可达100万元.由于该产品供不应求,该公司计划于3月份开始全部改为线上销售,这样,预计今年每月的销售额y(万元)与月份x(月)之间函数关系的图象如图1中的点状图所示(5月及以后每月的销售额都相同),而经销成本p(万元)与销售额y(万元)之间函数关系的图象如图2中线段AB所示.

(1)求经销成本p(万元)与销售额y(万元)之间的函数关系式;
(2)分别求该公司3月份、4月份的利润;
(3)把3月作为第一个月开始往后算,最早到第几个月止,该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元?(利润= 销售额-经销成本)

答案： 1. **求经销成本$p$（万元）与销售额$y$（万元）之间的函数关系式**
- 设$p = ky + b$，将$A(100,60)$，$B(200,110)$代入可得$\begin{cases}100k + b = 60\\200k + b = 110\end{cases}$。
- 用$200k + b = 110$减去$100k + b = 60$，得$100k = 50$，解得$k=\frac{1}{2}$。
- 把$k=\frac{1}{2}$代入$100k + b = 60$，得$100\times\frac{1}{2}+b = 60$，$50 + b = 60$，解得$b = 10$。
- 所以$p=\frac{1}{2}y + 10$。
2. **求该公司3月份、4月份的利润**
- 3月份销售额$y = 150$万元，把$y = 150$代入$p=\frac{1}{2}y + 10$，得$p=\frac{1}{2}\times150 + 10 = 85$万元。
- 利润$= 150 - 85 = 65$万元。
- 4月份销售额$y = 175$万元，把$y = 175$代入$p=\frac{1}{2}y + 10$，得$p=\frac{1}{2}\times175 + 10 = 97.5$万元。
- 利润$= 175 - 97.5 = 77.5$万元。
3. **求最早到第几个月止满足条件**
- 设最早到第$n$个月止。
- 线下每月利润$100-( \frac{1}{2}\times100 + 10)=40$万元。
- 线上：当$n = 1$（3月）利润$65$万元，$n = 2$（4月）利润$77.5$万元，$n\geq3$时，销售额$y = 200$万元，$p=\frac{1}{2}\times200 + 10 = 110$万元，利润$200 - 110 = 90$万元。
- 线上利润总额$65 + 77.5+90(n - 2)$，线下利润总额$40n$。
- 由$65 + 77.5+90(n - 2)-40n\geq200$。
- 化简得$65 + 77.5+90n - 180 - 40n\geq200$。
- $50n\geq200 + 180 - 65 - 77.5$。
- $50n\geq237.5$。
- $n\geq4.75$。
- 因为$n$为整数，所以$n = 5$。
1. $p=\frac{1}{2}y + 10$。
2. 3月份利润$65$万元，4月份利润$77.5$万元。
3. 最早到第$5$个月止。