《2025年快乐暑假天天练数学物理生物》

1. 方明用 50 元钱买单价为 8 元的笔记本,他剩余的钱数 $ Q $ (元) 与他买这种笔记本的本数 $ x $ 之间的关系式为 $ Q = 50 - 8x $, 则下列说法正确的是 ()
A. $ Q $ 和 $ x $ 是变量
B. $ Q $ 是自变量
C. 50 和 $ x $ 是常量
D. $ x $ 是 $ Q $ 的函数

答案： A

2. 若正比例函数 $ y = kx $ 的图象经过点 $ (3, - 9) $, 则 $ k $ 的值为 ()
A. $ - 3 $
B. 3
C. $ - \frac{1}{3} $
D. $ \frac{1}{3} $

答案： A

3. 函数 $ y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}} + x - 2 $ 的自变量 $ x $ 的取值范围是 ()
A. $ x \geq 2 $
B. $ x ＞ 2 $
C. $ x \neq 2 $
D. $ x \leq 2 $

答案： **步骤一：分析二次根式有意义的条件**
在二次根式$\sqrt{a}$中，被开方数$a$须是非负数，即$a\geq0$。
在函数$y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}} + x - 2$中，二次根式为$\sqrt{x - 2}$，所以$x - 2\geq0$。
**步骤二：分析分式有意义的条件**
在分式$\frac{b}{a}$中，分母$a$不能为$0$，即$a\neq0$。
在函数$y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}} + x - 2$中，分式为$\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$，所以$\sqrt{x - 2}\neq0$，即$x - 2\neq0$。
**步骤三：综合确定$x$的取值范围**
结合上述两个条件，要使函数$y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}} + x - 2$有意义，则$x - 2\gt0$，解这个不等式可得$x\gt2$。
B

4. 已知点 $ (-4, y_1),(2, y_2) $ 都在直线 $ y = \frac{1}{2}x + 2 $ 上, 则 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ 的大小关系是 ()
A. $ y_1 ＞ y_2 $
B. $ y_1 = y_2 $
C. $ y_1 ＜ y_2 $
D. 不能比较

答案： **方法一：根据一次函数的性质判断**
对于一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$），当$k\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大。
在直线$y = \frac{1}{2}x + 2$中，$k = \frac{1}{2}\gt0$，所以$y$随$x$的增大而增大。
已知点$(-4, y_1)$，$(2, y_2)$，比较横坐标$-4$和$2$的大小，可得$-4\lt 2$，根据$y$随$x$的增大而增大，可得$y_1\lt y_2$。
**方法二：代入法**
已知点$(-4, y_1)$在直线$y = \frac{1}{2}x + 2$上，将$x = -4$代入直线方程可得：
$y_1 = \frac{1}{2}\times(-4) + 2 = -2 + 2 = 0$
已知点$(2, y_2)$在直线$y = \frac{1}{2}x + 2$上，将$x = 2$代入直线方程可得：
$y_2 = \frac{1}{2}\times2 + 2 = 1 + 2 = 3$
比较$y_1 = 0$和$y_2 = 3$的大小，可得$y_1\lt y_2$。
C

5. 摩托车由 A 地驶往相距 120 km 的 B 地, 它的平均速度是 30 km/h, 则摩托车距 B 地的路程 $ s $ (km) 与行驶时间 $ t $ (h) 的函数关系式及自变量 $ t $ 的取值范围是 ()
A. $ s = 120 - 30t(0 \leq t \leq 4) $
B. $ s = 120 - 30t(t ＞ 0) $
C. $ s = 30t(0 \leq t \leq 4) $
D. $ s = 30t(t ＜ 4) $

答案： **步骤一：求摩托车距$B$地的路程$s$与行驶时间$t$的函数关系式**
已知摩托车的平均速度是$30km/h$，行驶时间为$t$小时，根据路程$=$速度$\times$时间，可得摩托车行驶的路程为$30t$千米。
因为$A$地与$B$地相距$120km$，所以摩托车距$B$地的路程$s = 120 - 30t$。
**步骤二：确定自变量$t$的取值范围**
由于摩托车从$A$地驶往$B$地，当摩托车还未出发时，$t = 0$；当摩托车到达$B$地时，行驶的路程刚好为$120km$，根据时间$=$路程$\div$速度，可得此时$t = 120\div30 = 4$小时。
所以$t$的取值范围是$0\leq t\leq 4$。
综上，摩托车距$B$地的路程$s$（$km$）与行驶时间$t$（$h$）的函数关系式及自变量$t$的取值范围是$s = 120 - 30t(0\leq t\leq 4)$。
A

6. 无论 $ m $ 为任何实数, 关于 $ x $ 的一次函数 $ y = x + 2m $ 与 $ y = - x + 4 $ 的图象的交点一定不在 ()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： **步骤一：联立两个一次函数的解析式求出交点坐标**
联立$y = x + 2m$与$y = -x + 4$可得方程组$\begin{cases}y = x + 2m\\y = -x + 4\end{cases}$，解这个方程组：
将两个方程相加消去$x$可得：
$2y = x + 2m - x + 4$
$2y = 2m + 4$
$y = m + 2$
把$y = m + 2$代入$y = -x + 4$可得：
$m + 2 = -x + 4$
$x = 4 - 2 - m$
$x = 2 - m$
所以，两函数图象的交点坐标为$(2 - m, m + 2)$。
**步骤二：分情况讨论交点所在的象限**
- 当$2 - m\gt 0$时，即$m\lt 2$：
若$m + 2\gt 0$，即$m\gt - 2$，此时$-2\lt m\lt 2$，交点$(2 - m, m + 2)$在第一象限。
若$m + 2 = 0$，即$m = - 2$，此时交点坐标为$(4, 0)$，在$x$轴正半轴上。
若$m + 2\lt 0$，即$m\lt - 2$，此时交点$(2 - m, m + 2)$在第四象限。
- 当$2 - m\lt 0$时，即$m\gt 2$，此时$m + 2\gt 0$，交点$(2 - m, m + 2)$在第二象限。
综上，无论$m$取何值，交点都不可能在第三象限。
C