《2025年快乐暑假天天练数学物理生物》

“曹冲称象”是家喻户晓的典故。某校兴趣小组模仿这一现象,制作了浮力秤。将厚底直筒形状的玻璃杯浸入水中,如下图所示。已知玻璃杯的质量为200g,底面积为30$cm^{2}$,高度为15cm。($\rho_{水}= 1×10^{3}kg/m^{3}$,$g$取10N/kg)求：
(1)将杯子开口向上竖直放入水中时(注：水未进入杯内),杯子受到的浮力；
(2)此时杯子浸入水中的深度(该浮力秤的零刻度位置)；
(3)该浮力秤的最大量程。

答案： 1. （1）杯子的质量$m = 200g = 0.2kg$，根据$G = mg$，可得杯子的重力$G=mg = 0.2kg×10N/kg = 2N$。
因为杯子漂浮在水面上，根据漂浮条件$F_{浮}=G$，所以杯子受到的浮力$F_{浮}=2N$。
2. （2）由$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$可得，杯子排开水的体积$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{2N}{1×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg}=2×10^{-4}m^{3}$。
已知杯子底面积$S = 30cm^{2}=3×10^{-3}m^{2}$，根据$h=\frac{V_{排}}{S}$，可得杯子浸入水中的深度$h=\frac{V_{排}}{S}=\frac{2×10^{-4}m^{3}}{3×10^{-3}m^{2}}=\frac{1}{15}m\approx0.067m = 6.7cm$。
3. （3）杯子的高度$h_{杯}=15cm = 0.15m$，则杯子排开水的最大体积$V_{排最大}=Sh_{杯}=3×10^{-3}m^{2}×0.15m = 4.5×10^{-4}m^{3}$。
根据$F_{浮最大}=\rho_{水}gV_{排最大}$，可得杯子受到的最大浮力$F_{浮最大}=\rho_{水}gV_{排最大}=1×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg×4.5×10^{-4}m^{3}=4.5N$。
因为$F_{浮最大}=G_{杯}+G_{物最大}$，所以能称量物体的最大重力$G_{物最大}=F_{浮最大}-G_{杯}=4.5N - 2N = 2.5N$。
根据$m=\frac{G}{g}$，可得能称量物体的最大质量$m_{物最大}=\frac{G_{物最大}}{g}=\frac{2.5N}{10N/kg}=0.25kg = 250g$。
1. （1）$2N$
2. （2）$6.7cm$
3. （3）$250g$