《2025年快乐暑假天天练数学物理生物》

四、思考并解答
假设我们规定$a^{-p}= \frac {1}{a^{p}}(a≠0)$,即a的负p次幂等于a的p次幂的倒数,例:$4^{-2}= \frac {1}{4^{2}}$.
1. 计算:$5^{-2}= $____;$(-2)^{-2}= $____.
2. 如果$2^{-p}= \frac {1}{8}$,那么$p= $____;如果$a^{-2}= \frac {1}{16}$,那么$a= $____.
3. 如果$a^{-p}= \frac {1}{9}$,且a,p为整数,求满足条件的a,p的取值.

答案： 1. 根据$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a\neq0)$，对于$5^{-2}$，这里$a = 5$，$p = 2$，则$5^{-2}=\frac{1}{5^{2}}=\frac{1}{25}$；对于$(-2)^{-2}$，这里$a=-2$，$p = 2$，则$(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^{2}}=\frac{1}{4}$。
2. 已知$2^{-p}=\frac{1}{8}$，因为$\frac{1}{8}=\frac{1}{2^{3}} = 2^{-3}$，所以$-p=-3$，则$p = 3$；已知$a^{-2}=\frac{1}{16}$，因为$\frac{1}{16}=\frac{1}{4^{2}}=4^{-2}$，又$(-4)^{-2}=\frac{1}{(-4)^{2}}=\frac{1}{16}$，所以$a=\pm4$。
3. 因为$a^{-p}=\frac{1}{9}$，即$\frac{1}{a^{p}}=\frac{1}{9}$，所以$a^{p}=9$。
- 当$a = 9$时，$p = 1$；
- 当$a=-9$时，$p = 1$（此时$(-9)^{1}=-9$不符合，舍去）；
- 当$a = 3$时，$p = 2$；
- 当$a=-3$时，$p = 2$，因为$(-3)^{2}=9$；
- 当$a = 1$时，$p = 9$；
- 当$a=-1$时，$p = 9$（此时$(-1)^{9}=-1$不符合，舍去）。
1. $\frac{1}{25}$；$\frac{1}{4}$
2. $3$；$\pm4$
3. $\begin{cases}a = 9,p = 1\\a = 3,p = 2\\a=-3,p = 2\\a = 1,p = 9\end{cases}$