《2025年快乐暑假天天练数学物理生物》

5. 一个菱形的边长为 6,面积为 28,则该菱形的两条对角线的长度之和为 ()
A. 8
B. 12
C. 16
D. 32

答案： 根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，所以菱形的面积可以表示为$S = \frac{1}{2}\times2a\times2b = 2ab$，已知面积$S = 28$，则$2ab = 28$，即$ab = 14$。
又因为菱形的边长为$6$，根据勾股定理可得$a^{2}+b^{2}=6^{2}=36$。
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，把$ab = 14$，$a^{2}+b^{2}=36$代入可得$(a + b)^{2}=36 + 2\times14=36 + 28 = 64$，则$a + b=\sqrt{64}=8$。
所以两条对角线的长度之和为$2a + 2b = 2(a + b)=2\times8 = 16$。
C

1. 若方程$\frac {2kx+5}{x+2}= 1的解为x= 1$,则k的值为____.

答案： $-1$

2. 如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上,若$EB= 1$,$EC= 2$,则正方形 ABCD 的面积为____.

答案： 本题可根据正方形的性质得出$\angle B = 90^{\circ}$，再利用勾股定理求出$BC$的长度，进而求出正方形$ABCD$的面积。
- **步骤一：分析$\triangle EBC$的性质**
因为四边形$ABCD$是正方形，根据正方形的性质可知，正方形的四个角都是直角，所以$\angle B = 90^{\circ}$，那么$\triangle EBC$是直角三角形。
- **步骤二：利用勾股定理求出$BC$的长度**
在$Rt\triangle EBC$中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），已知$EB = 1$，$EC = 2$，$EB$和$BC$为直角边，$EC$为斜边，则$BC^{2}=EC^{2}-EB^{2}$。
将$EB = 1$，$EC = 2$代入可得：$BC^{2}=2^{2}-1^{2}=4 - 1 = 3$。
- **步骤三：求出正方形$ABCD$的面积**
根据正方形的面积公式$S = a^2$（其中$a$为正方形的边长），在正方形$ABCD$中，边长$BC$，所以正方形$ABCD$的面积$S = BC^{2}$。
由步骤二可知$BC^{2}=3$，即正方形$ABCD$的面积为$3$。
$3$

3. 如图,一次函数$y= mx与反比例函数y= \frac {k}{x}$的图象交于 A,B 两点,过点 A 作$AM⊥x$轴,垂足为 M,连接 BM,若$S_{△ABM}= 3$,则k的值是____.

答案： 因为一次函数$y = mx$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象都关于原点对称，所以$A$、$B$两点关于原点对称，即$OA = OB$。
因为$\triangle AOM$和$\triangle BOM$等底（$OM$为公共底）同高（$A$、$B$到$x$轴的距离相等），所以$S_{\triangle AOM}=S_{\triangle BOM}$。
那么$S_{\triangle ABM}=2S_{\triangle AOM}$。
已知$S_{\triangle ABM}=3$，所以$S_{\triangle AOM}=\frac{3}{2}$。
对于反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\neq0)$，过双曲线上任意一点$P$作$x$轴（或$y$轴）的垂线，垂足为$M$，则$S_{\triangle POM}=\frac{1}{2}\vert k\vert$。
在本题中$S_{\triangle AOM}=\frac{1}{2}\vert k\vert=\frac{3}{2}$，又因为反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在一、三象限（由一次函数$y = mx$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$有两个交点可知$k\gt0$），所以$k = 3$。
$3$

4. 跳远运动员李刚对训练效果进行测试,6 次跳远的成绩(单位:m)分别为:7.6,7.8,7.7,7.8,8.0,7.9.这 6 次成绩的平均数为 7.8,方差为$\frac {1}{60}$.如果李刚再跳 2 次,成绩分别为 7.7,7.9,则李刚这 8 次跳远成绩的方差____(填“变大”“不变”或“变小”).

答案： 首先，方差是用来衡量一组数据波动大小的量。
原来$6$次成绩的平均数为$7.8$，方差为$\frac{1}{60}$。
加入$7.7$和$7.9$后，计算这$8$次成绩的平均数：
$(7.6 + 7.8 + 7.7 + 7.8 + 8.0 + 7.9 + 7.7 + 7.9)\div8$
$=(47.8 + 7.7 + 7.9)\div8$
$=(55.5 + 7.9)\div8$
$=63.4\div8 = 7.8$，平均数不变。
再看数据的波动情况，原来$6$个数据中，与平均数$7.8$差值的平方和除以$6$为方差$\frac{1}{60}$。
加入的$7.7$与$7.8$差值的平方为$(7.7 - 7.8)^2 = 0.01$，$7.9$与$7.8$差值的平方为$(7.9 - 7.8)^2 = 0.01$。
这两个新数据与平均数的差值的平方和相对较小，加入后，整体数据的波动变小，所以方差变小。
变小

1. 先化简分式$(\frac {x}{x-1}-\frac {x}{x-2})÷\frac {x^{2}-x}{x^{2}-2x+1}$,然后从$-1≤x≤3$中选取一个你认为合适的整数x代入求值.

答案： 1. 首先化简$(\frac{x}{x - 1}-\frac{x}{x - 2})\div\frac{x^{2}-x}{x^{2}-2x + 1}$：
- 先对括号内的式子进行通分：
- $\frac{x}{x - 1}-\frac{x}{x - 2}=\frac{x(x - 2)-x(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)}$。
- 展开分子得$x(x - 2)-x(x - 1)=x^{2}-2x-(x^{2}-x)=x^{2}-2x - x^{2}+x=-x$，所以$\frac{x}{x - 1}-\frac{x}{x - 2}=\frac{-x}{(x - 1)(x - 2)}$。
- 再看除法运算，根据除法运算法则$a\div b=a\times\frac{1}{b}$，$\frac{x^{2}-x}{x^{2}-2x + 1}$中，$x^{2}-x=x(x - 1)$，$x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}$，则$(\frac{x}{x - 1}-\frac{x}{x - 2})\div\frac{x^{2}-x}{x^{2}-2x + 1}=\frac{-x}{(x - 1)(x - 2)}\times\frac{(x - 1)^{2}}{x(x - 1)}$。
- 约分可得：$\frac{-x}{(x - 1)(x - 2)}\times\frac{(x - 1)^{2}}{x(x - 1)}=-\frac{1}{x - 2}$。
2. 然后确定$x$的取值：
- 要使原式有意义，则分母不能为$0$。
- 在原式中，$x-1\neq0$，即$x\neq1$；$x - 2\neq0$，即$x\neq2$；$x\neq0$。
- 已知$-1\leq x\leq3$，且$x$为整数，那么$x$可以取$-1$或$3$。
3. 最后代入求值：
- 当$x = 3$时，$-\frac{1}{x - 2}=-\frac{1}{3 - 2}=-1$。（当$x=-1$时，$-\frac{1}{x - 2}=-\frac{1}{-1 - 2}=\frac{1}{3}$，这里选取$x = 3$代入计算）
化简结果为$-\frac{1}{x - 2}$，当$x = 3$时，值为$-1$。