《2025年快乐暑假天天练数学物理生物》

2. 解下列分式方程:
(1)$\frac {2}{x+1}+\frac {3}{x-1}= \frac {6}{x^{2}-1};$
(2)$\frac {2}{x-4}-\frac {1}{x-2}= 1-\frac {x^{2}+1}{(x-4)(x-2)}.$

答案： 1. 对于方程$\frac {2}{x + 1}+\frac {3}{x - 1}=\frac {6}{x^{2}-1}$：
- 首先，因为$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$去分母得：$2(x - 1)+3(x + 1)=6$。
- 然后去括号：$2x-2 + 3x+3 = 6$。
- 接着移项：$2x+3x=6 + 2-3$。
- 合并同类项得：$5x=5$。
- 系数化为$1$得：$x = 1$。
- 最后检验：当$x = 1$时，$(x + 1)(x - 1)=(1 + 1)\times(1 - 1)=0$，所以$x = 1$是增根，原分式方程无解。
2. 对于方程$\frac {2}{x - 4}-\frac {1}{x - 2}=1-\frac {x^{2}+1}{(x - 4)(x - 2)}$：
- 方程两边同乘$(x - 4)(x - 2)$去分母得：$2(x - 2)-(x - 4)=(x - 4)(x - 2)-(x^{2}+1)$。
- 去括号得：$2x-4-x + 4=x^{2}-6x + 8-x^{2}-1$。
- 移项得：$2x-x-x^{2}+x^{2}+6x=8 - 1+4 - 4$。
- 合并同类项得：$7x=7$。
- 系数化为$1$得：$x = 1$。
- 检验：当$x = 1$时，$(x - 4)(x - 2)=(1 - 4)\times(1 - 2)=(-3)\times(-1)=3\neq0$，所以$x = 1$是原分式方程的解。
1. 原分式方程无解 2. $x = 1$

3. 已知$\frac {1}{x}-\frac {1}{y}= 3$,求分式$\frac {2x+3xy-2y}{x-2xy-y}$的值.

答案： **步骤一：对$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$进行变形**
对$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$进行通分，可得$\frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y - x}{xy}$。
已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$，即$\frac{y - x}{xy} = 3$，那么$y - x = 3xy$，进一步变形可得$x - y = -3xy$。
**步骤二：将$x - y = -3xy$代入$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$进行化简求值**
对$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$进行变形，可得$\frac{2(x - y) + 3xy}{(x - y) - 2xy}$。
把$x - y = -3xy$代入上式，得到$\frac{2\times(-3xy) + 3xy}{-3xy - 2xy}$。
先分别计算分子和分母的值：
- 分子：$2\times(-3xy) + 3xy = -6xy + 3xy = -3xy$。
- 分母：$-3xy - 2xy = -5xy$。
则原式$=\frac{-3xy}{-5xy}$，因为$x$、$y$在原式分母中，所以$x\neq0$，$y\neq0$，那么$xy\neq0$，分子分母同时约去$-xy$，可得$\frac{3}{5}$。
$\frac{3}{5}$

4. 某中学开学初在商场购买A,B两种品牌的足球,购买A品牌足球花费了2500元,购买B品牌足球花费了2000元,且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍,已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元.
(1)购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元?
(2)该中学再次购买A,B两种品牌的足球共50个,恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整,A品牌足球的售价比第一次购买时提高了8%,B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售,如果该中学此次购买A,B两种品牌足球的总费用不超过3260元,那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球?

答案： 1. 
- 设购买一个$A$品牌足球需$x$元，则购买一个$B$品牌足球需$(x + 30)$元。
- 已知购买$A$品牌足球花费了$2500$元，那么购买$A$品牌足球的数量是$\frac{2500}{x}$个；购买$B$品牌足球花费了$2000$元，购买$B$品牌足球的数量是$\frac{2000}{x + 30}$个。
- 又因为购买$A$品牌足球的数量是购买$B$品牌足球数量的$2$倍，所以可列方程：$\frac{2500}{x}=2×\frac{2000}{x + 30}$。
- 方程两边同乘$x(x + 30)$去分母得：$2500(x + 30)=2×2000x$。
- 展开括号得：$2500x+75000 = 4000x$。
- 移项得：$4000x-2500x=75000$。
- 合并同类项得：$1500x=75000$。
- 解得$x = 50$。
- 经检验，当$x = 50$时，$x(x + 30)=50×(50 + 30)=50×80 = 4000\neq0$，所以$x = 50$是原分式方程的解。
- 则$x + 30=50 + 30 = 80$（元）。
2. 
- 设该中学此次购买$y$个$B$品牌足球，则购买$(50 - y)$个$A$品牌足球。
- 第一次购买$A$品牌足球单价为$50$元，调整后$A$品牌足球的售价比第一次购买时提高了$8\%$，则调整后$A$品牌足球单价为$50×(1 + 8\%)=50×1.08 = 54$元；$B$品牌足球按第一次购买时售价的$9$折出售，第一次$B$品牌足球单价为$80$元，调整后$B$品牌足球单价为$80×0.9 = 72$元。
- 已知该中学此次购买$A$，$B$两种品牌足球的总费用不超过$3260$元，可列不等式：$54(50 - y)+72y\leqslant3260$。
- 展开括号得：$2700-54y + 72y\leqslant3260$。
- 移项得：$72y-54y\leqslant3260 - 2700$。
- 合并同类项得：$18y\leqslant560$。
- 解得$y\leqslant\frac{280}{9}\approx31.11$。
- 因为$y$为足球个数，应为正整数，所以$y$的最大值为$31$。
1. 购买一个$A$品牌足球需$50$元，购买一个$B$品牌足球需$80$元。
2. 该中学此次最多可购买$31$个$B$品牌足球。