《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

1.分式的定义:一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子$\frac{A}{B}$叫作分式.其中A叫作分子,B叫作分母.
2.分式有意义的条件:分母不等于0;分式无意义的条件:分母等于0.
3.分式的值为0的条件:分子为0且分母不为0.
注意：
当分式的值为0时,由分子为0解得的未知数的值要代入分母检验,使分母不为0的数才能取.

答案： 【解析】：
本题主要考查分式的定义、分式有意义和无意义的条件以及分式的值为0的条件。这些知识点是数学八年级人教版上册章节18.1.1从分数到分式中的基础内容。
对于第一个空，根据分式的定义，A和B应该是两个整式。
对于第二个空，分式的分母B中必须含有字母，这是分式与整数的一个重要区别。
对于第三个和第四个空，A叫作分子，B叫作分母，这是分式的基本组成部分。
对于第五个空，分式有意义的条件是分母不等于0。
对于第六个空，分式无意义的条件是分母等于0。
对于第七个和第八个空，分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0。
【答案】：
1. 整式；字母；分子；分母
2. 不等于；等于
3. $0$；$0$

例1 下列各式中,哪些是整式,哪些是分式?
$\frac{1}{2x},\frac{a+b}{3},\frac{x}{x-y},\frac{a(a+b)}{a+b},\frac{x+2}{x-2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{2}{3},\frac{5}{\sqrt{5x}}$.
分析:根据整式、分式的定义去判断.注意$\frac{a(a+b)}{a+b}$也是分式,在进行分式认定时,不能化简所要判断的分式.另外,$\frac{\sqrt{2}}{2}$是一个无理数,但它是一个整式;$\frac{2}{3}$是分数,但它是一个整式;对于$\frac{5}{\sqrt{5x}}$,它不符合分式定义中分子、分母是整式这一规定.

答案： 【解析】：
本题考查了整式和分式的判别方法，需要对给定的各式进行逐一判断。
整式：如果代数式的分母中没有字母，就是整式。
分式：一般地，如果$A$、$B$（$B\neq0$）表示两个整式，且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$就叫做分式。
对于$\frac{1}{2x}$，分母含有字母$x$，因此它是分式。
对于$\frac{a+b}{3}$，分母是一个常数3，不含有字母，因此它是整式。
对于$\frac{x}{x-y}$，分母含有字母$x$和$y$，因此它是分式。
对于$\frac{a(a+b)}{a+b}$，虽然它可以化简为$a$（当$a \neq -b$时），但在判断时不能化简，分母含有字母$a$和$b$，因此它也是分式。
对于$\frac{x+2}{x-2}$，分母含有字母$x$，因此它是分式。
对于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，它是一个无理数，但分母中不含有字母，因此它是整式。
对于$\frac{2}{3}$，它是一个分数，但分母中不含有字母，因此它也是整式。
对于$\frac{5}{\sqrt{5x}}$，分母含有根号，并且根号下含有字母$x$，因此它不是整式也不是分式（在题目的考察范围内）。
【答案】：
整式有：$\frac{a+b}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2}{3}$；
分式有：$\frac{1}{2x}$，$\frac{x}{x-y}$，$\frac{a(a+b)}{a+b}$，$\frac{x+2}{x-2}$。

1.下列各式中,是分式的是(D)
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{x^{2}}{\pi }$
C.$y+\frac{x}{2}$
D.$1+\frac{2}{x}$

答案： 解：根据分式的定义，形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B不等于0）的式子叫做分式。
A选项$\frac{2}{3}$，分母为常数，是分数，不是分式。
B选项$\frac{x^{2}}{\pi }$，π是常数，分母不含字母，是整式，不是分式。
C选项$y+\frac{x}{2}$是多项式，属于整式，不是分式。
D选项$1+\frac{2}{x}$，其中$\frac{2}{x}$的分母含有字母x，符合分式定义，所以该式是分式。
答案：D

2.下列代数式中,是分式的是(C)
A.$\frac{3}{\pi }$
B.$\frac{\pi }{3}$
C.$\frac{x^{2}}{x}$
D.$\frac{x}{\sqrt{x}}$

答案： 解：根据分式的定义，形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B不等于0）的式子叫做分式。
选项A：$\frac{3}{\pi }$，$\pi$是常数，不是字母，所以不是分式。
选项B：$\frac{\pi }{3}$，是常数，不是分式。
选项C：$\frac{x^{2}}{x}$，分母中含有字母$x$，且$x\neq0$，是分式。
选项D：$\frac{x}{\sqrt{x}}$，分母是根式，不是整式，所以不是分式。
答案：C

3.正n边形的一个内角的度数是$\frac{(n-2) × 180^\circ}{n}$度,一个外角的度数是$\frac{360^\circ}{n}$度.

答案： 【解析】：
本题主要考查正$n$边形的内外角度数计算。
对于正$n$边形，其所有内角之和为$(n-2) × 180^\circ$，因此，一个内角的度数为$\frac{(n-2) × 180^\circ}{n}$。
正$n$边形的外角和总是$360^\circ$，由于正$n$边形的每一个外角都相等，所以一个外角的度数为$\frac{360^\circ}{n}$。
【答案】：
正$n$边形的一个内角的度数是$\frac{(n-2) × 180^\circ}{n}$度，一个外角的度数是$\frac{360^\circ}{n}$度。

(1)若代数式$\frac{x+1}{x-3}$有意义,则实数x的取值范围是(D)
A.$x= -1$ B.$x= 3$ C.$x\neq -1$ D.$x\neq 3$
(2)使分式$\frac{2x+1}{2x-1}$无意义的x的值是(B)
A.$x= -\frac{1}{2}$ B.$x= \frac{1}{2}$ C.$x\neq -\frac{1}{2}$ D.$x\neq \frac{1}{2}$
(3)当x$x＜3$且$x\neq 1$时,分式$\frac{3-x}{x^{2}-2x+1}$的值为正数.
(4)若不论x取何实数分式$\frac{2x-3}{x^{2}+4x+m}$总有意义,则m的取值范围为$m＞4$.

答案：
(1)解：要使代数式$\frac{x+1}{x-3}$有意义，分母不能为0，即$x - 3 \neq 0$，解得$x \neq 3$，故选D。
(2)解：要使分式$\frac{2x+1}{2x-1}$无意义，分母需为0，即$2x - 1 = 0$，解得$x = \frac{1}{2}$，故选B。
(3)解：分式$\frac{3 - x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{3 - x}{(x - 1)^2}$，分母$(x - 1)^2$恒大于0（$x \neq 1$时），要使分式值为正数，则分子$3 - x ＞ 0$，解得$x ＜ 3$，且$x \neq 1$，故填$x ＜ 3$且$x \neq 1$。
(4)解：分母$x^2 + 4x + m = (x + 2)^2 + m - 4$，要使分式总有意义，分母恒不为0，因为$(x + 2)^2 \geq 0$，所以$m - 4 ＞ 0$，即$m ＞ 4$，故填$m ＞ 4$。

4.(2023·北京)若代数式$\frac{5}{x-2}$有意义,则实数x的取值范围是$x \neq 2$.

答案： 解：要使代数式$\frac{5}{x - 2}$有意义，则分母不能为$0$，即$x - 2 \neq 0$，解得$x \neq 2$。
$x \neq 2$

5.若分式$\frac{x-2}{x^{2}}$的值为负,则x的取值范围是$x＜2$且$x\neq0$;若分式$\frac{2x+1}{x^{2}}$的值为正,则x的取值范围是$x＞-\frac{1}{2}$且$x\neq0$.

答案： 解：对于分式$\frac{x - 2}{x^2}$的值为负：
因为$x^2\geq0$，且$x^2\neq0$（分母不为0），所以$x^2＞0$。要使分式值为负，则分子$x - 2＜0$，解得$x＜2$，且$x\neq0$。
对于分式$\frac{2x + 1}{x^2}$的值为正：
因为$x^2＞0$（$x\neq0$），要使分式值为正，则分子$2x + 1＞0$，解得$x＞-\frac{1}{2}$，且$x\neq0$。
$x＜2$且$x\neq0$；$x＞-\frac{1}{2}$且$x\neq0$

(1)若分式$\frac{x-2}{x+1}$的值为0,则x的值是(C)
A.2或-1 B.0 C.2 D.-1
(2)若分式$\frac{x^{2}-1}{x+1}$的值为0,则x的值是(D)
A.$\pm 1$ B.0 C.-1 D.1

答案：
(1)解：要使分式$\frac{x - 2}{x + 1}$的值为0，需分子为0且分母不为0。
分子$x - 2 = 0$，解得$x = 2$。
分母$x + 1\neq0$，即$x\neq - 1$。
所以$x = 2$，选C。
(2)解：要使分式$\frac{x^{2}-1}{x + 1}$的值为0，需分子为0且分母不为0。
分子$x^{2}-1 = 0$，即$(x + 1)(x - 1)=0$，解得$x = 1$或$x=-1$。
分母$x + 1\neq0$，即$x\neq - 1$。
所以$x = 1$，选D。