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2. 思考:命题"在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°"成立吗?你能证明它吗?
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,
BC= 1/2AB.
求证:∠A= 30°.
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,
BC= 1/2AB.
求证:∠A= 30°.
答案：
【解析】：本题主要考查直角三角形的性质，即“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于$30^\circ$”。我们可以通过取斜边中点，构造等边三角形，利用等边三角形的性质来证明这一结论。
在$AB$上取中点$D$，连接$CD$。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半这一性质求出$CD$。
利用已知条件$BC=\frac{1}{2}AB$以及$D$为$AB$中点得到$BC=BD=CD$，从而证明$\triangle BCD$是等边三角形，进而得到$\angle B = 60^\circ$，最后根据三角形内角和定理求出$\angle A$。
【答案】：证明：
如图，取$AB$的中点$D$，连接$CD$。
∵在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，$D$是$AB$的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=AD = BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵$BC=\frac{1}{2}AB$，
∴$BC = BD = CD$，
∴$\triangle BCD$是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），
∴$\angle B = 60^\circ$（等边三角形的三个内角都等于$60^\circ$）。
∵在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，
∴$\angle A=180^\circ-\angle B - \angle C=180^\circ - 60^\circ-90^\circ = 30^\circ$。
故命题成立，即“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于$30^\circ$”。
在$AB$上取中点$D$，连接$CD$。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半这一性质求出$CD$。
利用已知条件$BC=\frac{1}{2}AB$以及$D$为$AB$中点得到$BC=BD=CD$，从而证明$\triangle BCD$是等边三角形，进而得到$\angle B = 60^\circ$，最后根据三角形内角和定理求出$\angle A$。
【答案】：证明：
如图，取$AB$的中点$D$，连接$CD$。
∵在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，$D$是$AB$的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=AD = BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵$BC=\frac{1}{2}AB$，
∴$BC = BD = CD$，
∴$\triangle BCD$是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），
∴$\angle B = 60^\circ$（等边三角形的三个内角都等于$60^\circ$）。
∵在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，
∴$\angle A=180^\circ-\angle B - \angle C=180^\circ - 60^\circ-90^\circ = 30^\circ$。
故命题成立，即“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于$30^\circ$”。
例1 填空题
(1)如图,在Rt△ABC中,若∠ABC= 2∠A,AB= 6 cm,则BC=
(2)如图,在Rt△ABC中,若∠A= 30°,AB+BC= 12 cm,则AB=
(3)如图,在Rt△ABC中,若∠A= 30°,BD平分∠ABC,且BD= 16 cm,则AC=
(1)如图,在Rt△ABC中,若∠ABC= 2∠A,AB= 6 cm,则BC=
3 cm
.(2)如图,在Rt△ABC中,若∠A= 30°,AB+BC= 12 cm,则AB=
8 cm
.(3)如图,在Rt△ABC中,若∠A= 30°,BD平分∠ABC,且BD= 16 cm,则AC=
24 cm
.
答案：
【解析】：
(1)在$Rt \bigtriangleup ABC$中，已知$\angle ABC = 2\angle A$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，即$\angle A + 2\angle A+90^{\circ}=180^{\circ}$，$3\angle A=90^{\circ}$，解得$\angle A = 30^{\circ}$。
在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，因为$AB$为斜边，$BC$为$30^{\circ}$角$\angle A$所对的直角边，所以$BC=\frac{1}{2}AB$，已知$AB = 6cm$，则$BC = 3cm$。
(2)在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，根据$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$AB = 2BC$。
又已知$AB + BC = 12cm$，将$AB = 2BC$代入$AB + BC = 12cm$，得到$2BC+BC = 12cm$，即$3BC = 12cm$，解得$BC = 4cm$，那么$AB = 2×4 = 8cm$。
(3)在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，则$\angle ABC = 60^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle CBD = 30^{\circ}$。
在$Rt \bigtriangleup ABD$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle ABD = 30^{\circ}$，所以$\angle A=\angle ABD$，根据等角对等边，可得$AD = BD = 16cm$。
在$Rt \bigtriangleup BCD$中，$\angle CBD = 30^{\circ}$，根据$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}BD$，已知$BD = 16cm$，所以$CD = 8cm$。
则$AC=AD + CD=16 + 8 = 24cm$。
【答案】：
(1)$3cm$；
(2)$8cm$；
(3)$24cm$。
(1)在$Rt \bigtriangleup ABC$中，已知$\angle ABC = 2\angle A$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，即$\angle A + 2\angle A+90^{\circ}=180^{\circ}$，$3\angle A=90^{\circ}$，解得$\angle A = 30^{\circ}$。
在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，因为$AB$为斜边，$BC$为$30^{\circ}$角$\angle A$所对的直角边，所以$BC=\frac{1}{2}AB$，已知$AB = 6cm$，则$BC = 3cm$。
(2)在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，根据$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$AB = 2BC$。
又已知$AB + BC = 12cm$，将$AB = 2BC$代入$AB + BC = 12cm$，得到$2BC+BC = 12cm$，即$3BC = 12cm$，解得$BC = 4cm$，那么$AB = 2×4 = 8cm$。
(3)在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，则$\angle ABC = 60^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle CBD = 30^{\circ}$。
在$Rt \bigtriangleup ABD$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle ABD = 30^{\circ}$，所以$\angle A=\angle ABD$，根据等角对等边，可得$AD = BD = 16cm$。
在$Rt \bigtriangleup BCD$中，$\angle CBD = 30^{\circ}$，根据$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}BD$，已知$BD = 16cm$，所以$CD = 8cm$。
则$AC=AD + CD=16 + 8 = 24cm$。
【答案】：
(1)$3cm$；
(2)$8cm$；
(3)$24cm$。
1. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,AC= 3,∠B= 30°,P是BC边上的动点,则AP的长不可能是(
A.3.5
B.4.2
C.5.8
D.7
D
)A.3.5
B.4.2
C.5.8
D.7
答案：
解：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
∴AB=2AC=6（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵P是BC边上的动点，
∴当P与C重合时，AP=AC=3；当P与B重合时，AP=AB=6。
∴AP的取值范围是3≤AP≤6。
∵7＞6，
∴AP的长不可能是7。
答案：D
∴AB=2AC=6（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵P是BC边上的动点，
∴当P与C重合时，AP=AC=3；当P与B重合时，AP=AB=6。
∴AP的取值范围是3≤AP≤6。
∵7＞6，
∴AP的长不可能是7。
答案：D
2.(2024·甘南州)如图,在△ABC中,∠BAC= 90°,∠B= 30°,AC= 4.以点A为圆心,以AC的长为半径作弧,交BC于点D;再分别以点C和点D为圆心,以大于1/2DC的长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线AE交BC于点F,则BF的长为(
A.5
B.6
C.7
D.8
B
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案：
解：在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4，
∴BC=2AC=8（30°所对直角边等于斜边的一半），
∠C=60°。
以A为圆心，AC长为半径作弧交BC于D，
∴AD=AC=4，
∴△ADC为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴DC=AC=4。
由作图知，AE是DC的垂直平分线，
∴F为DC中点，
∴FC=1/2DC=2，
∴BF=BC-FC=8-2=6。
答案：B
∴BC=2AC=8（30°所对直角边等于斜边的一半），
∠C=60°。
以A为圆心，AC长为半径作弧交BC于D，
∴AD=AC=4，
∴△ADC为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴DC=AC=4。
由作图知，AE是DC的垂直平分线，
∴F为DC中点，
∴FC=1/2DC=2，
∴BF=BC-FC=8-2=6。
答案：B
例2 如图,△ABC为等边三角形,AE= CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ= 4,PE= 1.
(1)求证:∠BPQ= 60°;
(2)求AD的长.
分析:(1)由于△ABC是等边三角形,那么有AB= AC,∠BAE= ∠ACD= 60°,而AE= CD,利用"SAS"可证△BAE≌△ACD,从而有∠1= ∠2.根据∠BAE= ∠1+∠BAD= 60°,等量代换则有∠2+∠BAD= 60°,再利用三角形外角性质可得∠BPQ= 60°.(2)在Rt△BPQ中,易求∠PBQ= 30°,于是可求BP,进而可求BE,而△BAE≌△ACD,那么有AD= BE.
(1)求证:∠BPQ= 60°;
(2)求AD的长.
分析:(1)由于△ABC是等边三角形,那么有AB= AC,∠BAE= ∠ACD= 60°,而AE= CD,利用"SAS"可证△BAE≌△ACD,从而有∠1= ∠2.根据∠BAE= ∠1+∠BAD= 60°,等量代换则有∠2+∠BAD= 60°,再利用三角形外角性质可得∠BPQ= 60°.(2)在Rt△BPQ中,易求∠PBQ= 30°,于是可求BP,进而可求BE,而△BAE≌△ACD,那么有AD= BE.
答案：
【解析】：
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
∵AE=CD，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠BAE=∠1+∠BAD=60°，
∴∠2+∠BAD=60°，
∴∠BPQ=∠2+∠BAD=60°。
(2)
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=2×4=8，
∵PE=1，
∴BE=BP+PE=8+1=9，
∵△BAE≌△ACD，
∴AD=BE=9。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)AD=9。
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
∵AE=CD，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠BAE=∠1+∠BAD=60°，
∴∠2+∠BAD=60°，
∴∠BPQ=∠2+∠BAD=60°。
(2)
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=2×4=8，
∵PE=1，
∴BE=BP+PE=8+1=9，
∵△BAE≌△ACD，
∴AD=BE=9。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)AD=9。
3. 如图,在等边△ABC中,D是边BC上的一点,连接AD,作线段AD的垂直平分线EF,分别交AB,AC于点E,F,连接ED,FD.已知∠1= 15°,则以下结论错误的是(
A.BE= 2BD
B.DF⊥AC
C.CD= 2CF
D.AD= 2AF
D
)A.BE= 2BD
B.DF⊥AC
C.CD= 2CF
D.AD= 2AF
答案：
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC。
∵EF垂直平分AD，
∴EA=ED，FA=FD。
设∠EAD=∠1=15°，则∠EDB=∠BED+∠B=∠EAD+∠1+∠B=15°+15°+60°=90°（此处修正：∠BED=∠EAD=15°，∠EDB=180°-∠B-∠BED=180°-60°-15°=105°，原解析有误，正确推导如下）
∵EA=ED，∠1=15°，
∴∠EAD=∠EDA=15°，
∴∠BED=∠EAD+∠EDA=30°，
∵∠B=60°，
∴∠EDB=180°-∠B-∠BED=90°，
在Rt△EBD中，∠BED=30°，
∴BE=2BD（A正确）。
∠FAD=∠BAC-∠1=60°-15°=45°，
∵FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA=45°，
∴∠AFD=90°，即DF⊥AC（B正确）。
在Rt△CFD中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CD=2CF（C正确）。
在Rt△AFD中，∠AFD=90°，∠FAD=45°，
∴AD=√2AF≠2AF（D错误）。
结论：错误的是D。
答案：D
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC。
∵EF垂直平分AD，
∴EA=ED，FA=FD。
设∠EAD=∠1=15°，则∠EDB=∠BED+∠B=∠EAD+∠1+∠B=15°+15°+60°=90°（此处修正：∠BED=∠EAD=15°，∠EDB=180°-∠B-∠BED=180°-60°-15°=105°，原解析有误，正确推导如下）
∵EA=ED，∠1=15°，
∴∠EAD=∠EDA=15°，
∴∠BED=∠EAD+∠EDA=30°，
∵∠B=60°，
∴∠EDB=180°-∠B-∠BED=90°，
在Rt△EBD中，∠BED=30°，
∴BE=2BD（A正确）。
∠FAD=∠BAC-∠1=60°-15°=45°，
∵FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA=45°，
∴∠AFD=90°，即DF⊥AC（B正确）。
在Rt△CFD中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CD=2CF（C正确）。
在Rt△AFD中，∠AFD=90°，∠FAD=45°，
∴AD=√2AF≠2AF（D错误）。
结论：错误的是D。
答案：D
4. 如图,已知∠AOB= 60°,OC是∠AOB的平分线,D为OC上一点,过点D作直线DE⊥OA,垂足为E,且直线DE交OB于点F.若DE= 2,则DF= ______.
4
答案：
解：
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOC=∠COB=30°。
∵DE⊥OA，
∴∠OED=90°。
在Rt△OED中，∠AOC=30°，DE=2，
∴OD=2DE=4（30°所对直角边等于斜边的一半）。
∵∠OFE=∠COB=30°（对顶角相等），
在Rt△ODF中，∠OFD=30°，OD=4，
∴DF=OD=4（等角对等边）。
4
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOC=∠COB=30°。
∵DE⊥OA，
∴∠OED=90°。
在Rt△OED中，∠AOC=30°，DE=2，
∴OD=2DE=4（30°所对直角边等于斜边的一半）。
∵∠OFE=∠COB=30°（对顶角相等），
在Rt△ODF中，∠OFD=30°，OD=4，
∴DF=OD=4（等角对等边）。
4
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